QCM sur les fonctions : 5 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane

 

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 1 • 5 points

QCM sur les fonctions : 5 questions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

1. La valeur exacte de 125717-Eqn1 est :

a) 125717-Eqn2

b) 125717-Eqn3

c) 125717-Eqn4

d) 125717-Eqn5

2. On désigne par 125717-Eqn6 un nombre entier naturel.

L’inégalité 125717-Eqn7 est réalisée dès que :

a) 125717-Eqn8

b) 125717-Eqn9

c) 125717-Eqn10

d) 125717-Eqn11

3. On considère la fonction 125717-Eqn12 définie sur 125717-Eqn13 par125717-Eqn14

L’expression 125717-Eqn15 de la dérivée de 125717-Eqn16 est :

a) 125717-Eqn17

b) 125717-Eqn18

c) 125717-Eqn19

d) 125717-Eqn20

4. On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction 125717-Eqn21 dans un repère du plan. La valeur de 125717-Eqn22 est :

a) 125717-Eqn23

b) 125717-Eqn24

c) 125717-Eqn24b

d) 125717-Eqn24c

matT_1409_04_00C_01

5. La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation :

a) 125717-Eqn25

b) 125717-Eqn26

c) 125717-Eqn27

d) 125717-Eqn28

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Dérivée • Intégrale, calcul d’aire • Tangente

Les conseils du correcteur

1. Utilisez la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien.

2. Utilisez la fonction logarithme népérien.

3. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme 125717-Eqn81.

4. L’intégrale donnée représente l’aire sous la courbe de 125717-Eqn82 entre 0 et 1.

Corrigé

Corrigé

1. Appliquer la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien

Notez bien

On rappelle que pour tous réels strictement positifs 125717-Eqn93 et 125717-Eqn94, on a : 125717-Eqn95 et que pour tout réel 125717-Eqn96, on a : 125717-Eqn97.

125717-Eqn98

La bonne réponse est c).

2. Déterminer l’entier naturel à partir duquel une inégalité est vraie

Attention !

On peut aussi utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée des puissances successives de 125717-Eqn99 et s’arrêter à la première puissance inférieure ou égale à 125717-Eqn100.

Pour 125717-Eqn101, l’inégalité 125717-Eqn102 est vérifiée, mais 70 n’est pas la valeur de 125717-Eqn103 à partir de laquelle l’inégalité est vérifiée.

La fonction ln étant strictement croissante sur 125717-Eqn104, l’inégalité 125717-Eqn105 équivaut à :

125717-Eqn106,

soit, puisque 125717-Eqn107 :

125717-Eqn108

Or 125717-Eqn109 ; puisque 125717-Eqn110 est entier, 125717-Eqn111 équivaut à 125717-Eqn112.

La bonne réponse est b).

3. Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

La fonction 125717-Eqn113 est de la forme 125717-Eqn114 avec 125717-Eqn115 et 125717-Eqn116 pour tout réel 125717-Eqn117, et 125717-Eqn118. Donc 125717-Eqn119

La bonne réponse est a).

4. Donner la valeur d’une intégrale

La fonction 125717-Eqn120 est continue et positive, donc 125717-Eqn121 est l’aire sous la courbe de 125717-Eqn122 entre 0 et 1, en unités d’aire. Graphiquement, on observe que cette aire est comprise entre 0,5 et 1.

On exclut la réponse d) puisque 125717-Eqn123, la réponse b) puisque 2 est « trop grand » (l’aire est nettement inférieure à 2) et la réponse c) car 125717-Eqn123bis est « trop petit ».

Donc, par élimination, la bonne réponse est a).

5. Reconnaître par lecture graphique l’équation réduite d’une tangente à une courbe

On observe graphiquement, par exemple en la traçant, que la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a un coefficient directeur positif et une ordonnée à l’origine négative.

La bonne réponse est b).