▶ 1. Déterminer une asymptote à la courbe représentative d’une fonction

On détermine la limite en + ∞ et en - ∞ de la fonction f.

On a $-2x^2+3x-1=x^2\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\text{ et }{x}^2+1=x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)$,

donc après simplification, pour x ≠ 0, $f(x)=\frac{-2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$.

Or $\underset{x\to \pm \text{∞}}{\lim }\frac{1}{x}=0$ et $\underset{x\to \pm \text{∞}}{\lim }\frac{1}{x^2}=0$, donc par opérations : $\underset{x\to \pm \text{∞}}{\lim }f(x)=-2$.

La courbe représentative de la fonction f admet donc en + ∞ et en - ∞ une asymptote parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = - 2.

La bonne réponse est c).

▶ 2. Déterminer une primitive d’une fonction

On peut calculer la dérivée de chacune des fonctions F proposées.

Si $F(x)=\frac{x^2}{2}{\text{e}}^{x^2}$, alors $F^{\prime }(x)=x{\text{e}}^{x^2}+\frac{x^2}{2}\times 2x{\text{e}}^{x^2}$, soit

$F^{\prime }(x)=(x+x^3){\text{e}}^{x^2}\ne f(x)$. F n’est pas une primitive de f.

Si $F(x)=\frac{1}{2}{\text{e}}^{x^2}$, alors $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2x{\text{e}}^{x^2}=x{\text{e}}^{x^2}=f(x)$.

Donc cette fonction F est une primitive de f sur ℝ.

Mais $F(0)=\frac{1}{2}\times {\text{e}}^0=\frac{1}{2}$, donc la « condition initiale » n’est pas vérifiée.

En revanche, avec $F(x)=\frac{1}{2}{\text{e}}^{x^2}+\frac{1}{2}$, d’après ce qui précède, $F^{\prime }=f$, donc F est une primitive de f. De plus, on a $F(0)=1.$

La fonction F définie par $F(x)=\frac{1}{2}{\text{e}}^{x^2}+\frac{1}{2}$ est bien la primitive de f sur ℝ telle que $f(0)=1$.

La bonne réponse est d).

▶ 3. Étudier la convexité d’une fonction

La convexité d’une fonction est liée au sens de variation de sa dérivée.

f′ n’est pas monotone sur ]0 ; + ∞[ donc f n’est ni convexe ni concave sur cet intervalle, ce qui élimine les réponses a) et b).

La réponse d) est fausse car f′ n’est pas croissante sur [2 ; + ∞[.

f′ est bien croissante sur [0 ; 2], donc f est convexe sur cet intervalle.

La bonne réponse est c).

▶ 4. Donner le sens de variation des primitives d’une fonction

Si F est une primitive de f sur ℝ, alors $F^{\prime }=f$, donc le sens de variation de F dépend du signe de f.

Or $f(x)=3{\text{e}}^{-x^2}+2$ donc $f(x)>0$ pour tout réel x.

Donc si F est une primitive de f sur ℝ, alors $F^{\prime }(x)>0$ pour tout réel x, F est forcément croissante sur ℝ.

La bonne réponse est a).

▶ 5. Déterminer une limite

On a $\underset{x\to +\infty }{\lim }2\ln (x)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }(3x^2+1)=+\infty$, donc pour la limite en + ∞ du quotient, on est dans un cas d’indétermination.

Pour tout x > 0, $f(x)=\frac{2\ln (x)}{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{\ln (x)}{x^2}\times \frac{2}{3+\frac{1}{x^2}}$.

Or, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^2}=0$ (croissances comparées) et $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{1}{x^2}=0$, donc par opérations $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}f(x)=0$.

La bonne réponse est d).

▶ 6. Déterminer le nombre de solutions d’une équation

On considère l’équation (E) : ${\text{e}}^{2x}+{\text{e}}^x-12=0$.

On pose $X={\text{e}}^x$. Alors (E) s’écrit : $X^2+X-12=0$.

C’est une équation du second degré dont les solutions sont 3 et - 4.

Donc (E) équivaut à ${\text{e}}^x=\text{3 ou} {\text{e}}^x=-4$.

${\text{e}}^x=-4$ n’a pas de solution car une exponentielle est toujours positive ;

${\text{e}}^x=\text{3}$ équivaut à x = ln(3).

ln(3) est la seule solution de l’équation (E).

La bonne réponse est c).