QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions

Intégration

matT_1309_07_04C

Ens. spécifique

22

CORRIGE

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 2 • 5 points

On considère une fonction définie sur l’intervalle [1 ; 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.

On désigne par la fonction dérivée de , par la fonction dérivée seconde de , par une primitive de (On admet l’existence de ).

La droite D est tangente à au point A d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

L’axe des abscisses est tangent à au point d’abscisse 2.

La tangente à au point d’abscisse 0 est la droite d’équation .


Pour chacune des questions ci-après, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.

>1.a) est convexe sur l’intervalle [ ; 0].

b) est concave sur l’intervalle ]1 ; 2[.

c) est convexe sur l’intervalle ]1 ; 3[.

d) est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse .

>2.a)

b)

c)

d) La tangente à au point d’abscisse 1 a pour équation :

>3.a) pour tout de l’intervalle

b) est croissante sur l’intervalle ]1 ; 2[.

c) si et seulement si ou

d) pour tout de l’intervalle

>4.a)

b)

c)

d) La valeur moyenne de sur l’intervalle [0 ; 2] est égale à 1.

>5.a) est croissante sur l’intervalle

b) est croissante sur l’intervalle

c) est croissante sur l’intervalle

d)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>2. Déterminez graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la tangente à au point d’abscisse 1.

>4. Si la fonction est positive sur l’intervalle (avec ), alors est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et .

Corrigé
Corrigé

>1. Étudier la convexité d’une fonction

Sur l’intervalle ]1 ; 3[, la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Cela exclut la réponse b).

La réponse a) est fausse car sur l’intervalle [ ; 0], la courbe est en-dessous de ses tangentes, donc la fonction est concave.

La bonne réponse estc).

>2. Déterminer des nombres dérivés et l’équation réduite d’une tangente

La tangente à au point d’abscisse 1 a pour équation .

Par lecture graphique, cette tangente a un coefficient directeur égal à et une ordonnée à l’origine égale à 5. Donc , ce qui exclut la réponse b).

est l’ordonnée du point A, donc , la réponse a) est fausse.

car le point A est un point d’inflexion de la courbe, la réponse c) est fausse.

La bonne réponse estd).

>3. Étudier le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction

D’après le graphique, la fonction est convexe sur l’intervalle , donc est croissante sur cet intervalle.

La réponse a) est fausse car n’est pas croissante sur l’intervalle .

La réponse c) est fausse car la courbe représentative de ne coupe pas l’axe des abscisses aux points d’abscisses 0 et 2.

La réponse d) est fausse car n’est pas décroissante sur l’intervalle (elle n’est pas définie, et donc à plus forte raison pas dérivable, sur cet intervalle).

La bonne réponse estb).

>4. Vérifier une propriété d’une intégrale

est positive sur l’intervalle [0 ; 2], donc est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisse, la courbe représentative de et les droites d’équations et .

(réponse a)) est faux car est positive sur l’intervalle [­ ; 0]

(réponse c)) est faux car l’une de ces intégrales est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisse, la courbe représentative de et les droites d’équations et , et l’autre est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et  ; d’après le graphique, les aires de ces deux domaines sont différentes.

La réponse d) est fausse car l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et n’est pas égale à 2.

La bonne réponse estb).

>5. Étudier le sens de variation d’une fonction, de sa dérivée, d’une de ses primitives

est croissante sur l’intervalle car et est positive sur l’intervalle .

La réponse a) ( est croissante sur l’intervalle ) est fausse car d’après le graphique, n’est pas convexe sur l’intervalle .

La réponse c) (f est croissante sur l’intervalle ) est fausse, d’après le graphique n’est pas monotone sur l’intervalle .

La réponse d) () est fausse, car est croissante ( est positive) sur .

La bonne réponse estb).