QCM sur les fonctions et la loi normale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2015

Exercice 1 • 5 points

QCM sur les fonctions et la loi normale

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. Soit la fonction f définie sur [1 ; 100] par f(x)=200lnx+10x, f(x) désigne la fonction dérivée de f. On a :

a) f(x)=200+1x

b) f(x)=200x+10

c) f(x)=200+10x

d) f(x)=200x+10x

2. On note L une primitive sur ]0;+[ de la fonction ln. Cette fonction L est :

a) croissante puis décroissante

b) décroissante sur ]0;+[

c) croissante sur ]0;+[

d) décroissante puis croissante

3. La fonction g définie sur ]0;+[ par g(x)=xlnx est :

a) convexe sur ]0;+[

b) concave sur ]0;+[

c) ni convexe, ni concave sur ]0;+[

d) change de convexité sur ]0;+[

4. On a représenté ci-après la courbe représentative d’une fonction h définie et dérivable sur ]0;+[ ainsi que sa tangente au point A d’abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

matT_1509_04_00C_01

a) h(2)=2

b) h(2)=12

c) h(2)=0

d) h(2)=1

5. La variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance μ=0 et d’écart type σ inconnu, mais on sait que P(10<X<10)=0,8.

On peut en déduire :

a) P(X<10)=0,1

b) P(X<10)=0,2

c) P(X<10)=0,5

d) P(X<10)=0,9

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction logarithme népérien • Primitive • Variations d’une fonction • Convexité • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

1. Utilisez le résultat du cours sur la dérivée de la fonction ln.

2. La dérivée de L est la fonction ln ; utilisez le théorème qui fait le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction sur un intervalle.

4. Le nombre dérivé h(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a à la courbe représentative de la fonction h.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x[1;100] :

f(x)=200×1x+10.

La bonne réponse est b).

2. Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x ]0;+[, L(x)=lnx.

Donc L(x)<0 si x]0;1[ et L(x)>0 si ]1;+[.

La bonne réponse est d).

3. Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout ]0;+[, g(x)=11x et g(x)=1x2.

Donc g(x)>0 pour tout x]0;+[. Donc g est convexe sur ]0;+[.

La bonne réponse est a).

4. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

h(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de h au point d’abscisse 2.

Par lecture graphique, cette tangente passe par l’origine du repère et par le point A(2 ; 0) ; son coefficient directeur est donc égal à 12.

La bonne réponse est b).

5. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

P(X<10)=P(10<X<10)+P(X10).

Or P(X10)=P(X10)=10,82=0,1.

Donc P(X<10)=0,8+0,1=0,9.

La bonne réponse est d).