QCM sur les fonctions et les probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 1 • 4 points

QCM sur les fonctions et les probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée.

1. La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses – 3 et 0.

matT_1605_09_00C_01

a) f(0) = – 1

b) f(– 1) = 0

c) f(– 3) = – 1

d) f(– 3) = 3

2. On note g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +[ par :

g(x)=(x+1)ln(x).

a) g(x)=1x

c) g(x)=1x2

b) g(x)=1+ln(x)

d) g(x)=1+1x+ln(x)

3. On considère la fonction h définie sur [0 ; 7] et représentée par la courbe ci-dessous :

matT_1605_09_00C_02

a) 05h(x)dx=h(5)h(0)

c) 15<05h(x)dx<20

b) 20<05h(x)dx<30

d) 05h(x)dx=20

4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée k d’une fonction k définie sur [0 ; +[.

matT_1605_09_00C_03

a) k est concave sur l’intervalle [1 ; 2]

b) k est convexe sur l’intervalle [1 ; 2]

c) k est convexe sur [0 ; +[

d) k est concave sur [0 ; +[

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction logarithme népérien • Convexité • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

1. Déterminez les coefficients directeurs des tangentes représentées.

2. Utilisez les résultats du cours sur la dérivée du produit de deux fonctions et la dérivée de la fonction ln.

4. La courbe représentée est celle de la dérivée seconde k. Le signe de k est lié à la convexité de la fonction k.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

Pour tout réel a, f(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.

f(0)=0 car au point d’abscisse 0, Cf a une tangente parallèle à l’axe des abscisses ; la réponse a) est donc fausse.

f(1)0 car la tangente à Cf au point d’abscisse – 1 n’est pas parallèle à l’axe des abscisses ; la réponse b) est donc fausse.

La tangente à Cf au point d’abscisse – 3 passe par les points de coordonnées (– 3 ; 3) et (– 2 ; 2) ; donc son coefficient directeur est :

232(3)=1 et f(3)=1.

f(3)3 car la tangente à Cf au point d’abscisse – 3 a un coefficient directeur négatif ; la réponse d) est fausse.

La bonne réponse est c).

2. Calculer la dérivée d’une fonction

On calcule la dérivée de g en appliquant la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions ; pour tout réel x strictement positif :

g(x)=1×ln(x)+(x+1)×1x=ln(x)+1+1x.

La bonne réponse est d).

3. Donner par lecture graphique la valeur exacte ou un encadrement d’une intégrale

Info

On dit aussi « aire sous la courbe de h entre 0 et 5 ».

La fonction h est continue sur [0 ; 7], donc sur [0 ; 5].

05h(x)dx représente donc l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe Ch, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x=5.

Info

Le domaine défini ci-avant contient 20 « rectangles unités » entiers et quelques portions de rectangles.

Par lecture graphique, on observe que cette aire est comprise entre 20 et 30.

La bonne réponse est b).

4. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle

k est concave sur [1 ; 2] car, d’après la courbe donnée, k est négative sur cet intervalle.

Notez bien

Si k était convexe sur [0 ; + [, alors à plus forte raison, k serait convexe sur [0 ; 2].

k n’est convexe ni sur [0 ; 2], ni sur [0 ; +[ car k est négative sur [0 ; 2].

k n’est pas concave sur [0 ; +[ car k n’est pas négative sur tout l’intervalle [0 ; +[.

La bonne réponse est a).