QCM

matT_1604_12_05C

Ens. spécifique

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 1 • 4 points

QCM sur les fonctions et les probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

▶ 1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = 3 x - x \ln x .$

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $] 0; + \infty [$ et on désigne par $f^{'}$ sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $] 0; + \infty [,$ on a :

a) $f^{'} (x) = 3 - \frac{1}{x}$

b) $f^{'} (x) = 3 - \ln x$

c) $f^{'} (x) = 2 - \ln x$

▶ 2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

a) 4 095

b) 8 191

c) $\frac{1 - 2^{14}}{1 - 2}$

▶ 3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

matT_1604_12_00C_01

P(A) désigne la probabilité d’un événement A et E(X) l’espérance de la variable aléatoire $X$ .

a) $P (3 \leq X \leq 7) = \frac{1}{4}$

b) $P (X \geq 4) = P (2 \leq X \leq 5)$

c) $E (X) = \frac{9}{5}$

▶ 4. On réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes ( $n$ entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l’échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

a) $n = 5 000$

b) $n = 100$

c) $n = 10 000$

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

▶ 2. Utilisez la formule du cours.

▶ 4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille $n$ permet d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $\frac{2}{\sqrt{n}}$ .

Corrigé

▶ 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $] 0; + \infty [$ :

$f^{'} (x) = 3 - \ln x - x \times \frac{1}{x}$

$f^{'} (x) = 3 - \ln x - 1$

$f^{'} (x) = 2 - \ln x$ .

La bonne réponse est c).

▶ 2. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique

Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $q = 2$ .

La somme des 13 premiers termes de cette suite est :

$S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{12} = \sum_{k = 0}^{12} u_{k} .$

D’après le cours :

$S = u_{0} \frac{1 - q^{13}}{1 - q} = \frac{1 - 2^{13}}{1 - 2} = 8 191 .$

La bonne réponse est b).

▶ 3. Étudier des probabilités relatives à une variable aléatoire suivant une loi uniforme

La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7], donc, pour tous réels $c$ et $d$ tels que $2 \leq c < d \leq 7$ :

$P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{7 - 2} = \frac{d - c}{5}$ .

D’où :

$P (3 \leq X \leq 7) = \frac{7 - 3}{5} = \frac{4}{5}$ ;

et la réponse a) est fausse.

L’espérance de $X$ est $E (X) = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2}$ , donc la réponse c) est fausse.

$P (X \geq 4) = P (4 \leq X \leq 7) = \frac{7 - 4}{5} = \frac{3}{5}$ ;

$P (2 \leq X \leq 5) = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}$ ;

donc $P (X \geq 4) = P (2 \leq X \leq 5)$ . La bonne réponse est b).

▶ 4. Étudier l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95

Si $p$ est la proportion d’un caractère dans une population, si $f$ est la fréquence observée de ce caractère dans un échantillon de taille $n$ et si les conditions ${\begin{cases} n \geq 30 \\ n f \geq 5 \\ n (1 - f) \geq 5 \end{cases}$ sont remplies, alors l’intervalle $I = [f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ est un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 0,95. L’amplitude de cet intervalle est $\frac{2}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{n}} = 0,02 \Leftrightarrow \sqrt{n} = 100 \Leftrightarrow n = 100^{2} = 10 000 .$