QCM sur les fonctions et les probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 1 • 4 points

QCM sur les fonctions et les probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0;+[ par :

f(x)=3xxlnx.

On admet que f est dérivable sur l’intervalle ]0;+[ et on désigne par f sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0;+[, on a :

a) f(x)=31x

b) f(x)=3lnx

c) f(x)=2lnx

2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

a) 4 095

b) 8 191

c) 121412

3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

matT_1604_12_00C_01

P(A) désigne la probabilité d’un événement A et E(X) l’espérance de la variable aléatoire X.

a) P(3X7)=14

b) P(X4)=P(2X5)

c) E(X)=95

4. On réalise un sondage sur un échantillon de n personnes (n entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l’échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

a) n=5000

b) n=100

c) n=10000

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

2. Utilisez la formule du cours.

4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille n permet d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 2n.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0;+[ :

f(x)=3lnxx×1x

f(x)=3lnx1

f(x)=2lnx.

La bonne réponse est c).

2. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique

Soit (un) la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q=2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite est :

S=u0+u1++u12=k=012uk.

D’après le cours :

S=u01q131q=121312=8191.

La bonne réponse est b).

3. Étudier des probabilités relatives à une variable aléatoire suivant une loi uniforme

La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7], donc, pour tous réels c et d tels que 2c<d7 :

P(cXd)=dc72=dc5.

D’où :

P(3X7)=735=45 ;

et la réponse a) est fausse.

L’espérance de X est E(X)=2+72=92, donc la réponse c) est fausse.

P(X4)=P(4X7)=745=35 ;

P(2X5)=525=35 ;

donc P(X4)=P(2X5). La bonne réponse est b).

4. Étudier l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95

Si p est la proportion d’un caractère dans une population, si f est la fréquence observée de ce caractère dans un échantillon de taille n et si les conditions {n30nf5n(1f)5 sont remplies, alors l’intervalle I=[f1n;f+1n] est un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0,95. L’amplitude de cet intervalle est 2n.

2n=0,02n=100n=1002=10000.

La bonne réponse est c).