QCM
matT_1604_12_05C
Ens. spécifique
31
Pondichéry • Avril 2016
Exercice 1 • 4 points
QCM sur les fonctions et les probabilités
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.
▶ 1. Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
On admet que est dérivable sur l'intervalle et on désigne par sa fonction dérivée.
Pour tout nombre réel de l'intervalle on a :
a)
b)
c)
▶ 2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
a) 4 095
b) 8 191
c)
▶ 3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [2 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
P(A) désigne la probabilité d'un événement A et E(X) l'espérance de la variable aléatoire .
a)
b)
c)
▶ 4. On réalise un sondage sur un échantillon de personnes ( entier naturel non nul).
Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?
a)
b)
c)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
▶ 2. Utilisez la formule du cours.
▶ 4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille permet d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude .
Corrigé
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout appartenant à l'intervalle :
.
La bonne réponse est c).
▶ 2. Calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Soit la suite géométrique de premier terme 1 et de raison .
La somme des 13 premiers termes de cette suite est :
D'après le cours :
La bonne réponse est b).
▶ 3. Étudier des probabilités relatives à une variable aléatoire suivant une loi uniforme
La variable aléatoire suit une loi uniforme sur l'intervalle [2 7], donc, pour tous réels et tels que :
.
D'où :
et la réponse a) est fausse.
L'espérance de est , donc la réponse c) est fausse.
donc . La bonne réponse est b).
▶ 4. Étudier l'amplitude d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95
Si est la proportion d'un caractère dans une population, si est la fréquence observée de ce caractère dans un échantillon de taille et si les conditions sont remplies, alors l'intervalle est un intervalle de confiance de au niveau de confiance 0,95. L'amplitude de cet intervalle est .
La bonne réponse est c).