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QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 1 • 4 points • 35 min

QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)

Les thèmes clés

Dérivée • Intervalle de confiance.

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Soit f la fonction définie sur ]0 +[ par f(x)=xlnx x. On note f sa fonction dérivée. On a alors :

a) f(x)=0

b) f(x)=ln(x)

c) f(x)=1x1

d) f(x)=1xx

2. Les entiers naturels n vérifiant l'inéquation 6×0,95n12 appartiennent à l'intervalle :

a) ]∞  ln3ln(5,7)]

b) ]∞ ln(0,50,95)]

c) ]∞  ln(0,5)ln(0,95)]

d) [ln(0,5)ln(0,95) +[

3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2 m.

Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m. On prélève au hasard un échantillon de 1 000 tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.

L'intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 %, avec les bornes arrondies à 103, est :

a) [0,922  0,986]

b) [0,947  0,961]

c) [1,98  2,02]

d) [0,953  0,955]

4. Pour un archer, la probabilité d'atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants. Quelle est la probabilité qu'il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

a) 0,512

b) 2,4

c) 0,262 144

d) 0,081 92

Les clés du sujet

2. Utilisez la fonction ln et n'oubliez pas que ln(0,95)0.

4. Définissez une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Corrigé

1. Déterminer la dérivée d'une fonction

f est dérivable sur ]0  +[ et, pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=1×lnx+x×1x1

f(x)=lnx.

La bonne réponse est b).

2. Résoudre une inéquation où l'inconnue est un exposant

L'inéquation 6×0,95n12 équivaut successivement à :

6×0,95n3

0,95n0,5.

notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur ]0  +[ etln(0,95)0 car 0  0,95 1.

0,95n0,5 est équivalent à :

n ln(0,95) ln(0,5)

nln(0,5)ln(0,95).

La bonne réponse est d).

3. Déterminer un intervalle de confiance d'une proportion

Si f est la fréquence de tubes dans la norme dans un échantillon de taille n, alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de tubes dans la norme pour l'entreprise est :

[f1nf+1n].

notez bien

Une fréquence et une proportion sont des nombres compris entre 0 et 1  la réponse c. ne peut pas convenir.

Ici f=9541000=0,954 et n = 1 000.

f1n=0,922 en arrondissant à 103 par défaut. f+1n=0,986 en arrondissant à 103 par excès.

La bonne réponse est a).

4. Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'archer touche la cible sur une série de 6 tirs. X est égale au nombre de succès (« atteindre la cible ») lors de la répétition de 6 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et la probabilité de succès est 0,8 d'après l'énoncé.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres 6 et 0,8. D'après le cours :

P(X=3)=(63)×0,83×0,23.

Avec la calculatrice :

P(X=3)=0,08192.

La bonne réponse est d).

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