France métropolitaine, mai 2022 • Jour 2
Sprint final
63
matT_2205_07_05C
France métropolitaine, mai 2022 • Jour 2
Exercice 2
QCM sur les fonctions et les suites : 6 questions
Intérêt du sujet • Ce QCM comporte 3 questions sur les fonctions, entres autres sur l’étude de la convexité. Les 3 dernières questions concernent les suites, en particulier leur convergence.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Pour les questions 1. à 3. ci-dessous, on considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ.
La courbe de sa fonction dérivée est donnée ci-dessous.
On admet que admet un maximum en et que sa courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées .
▶ 1. a) La fonction f admet un maximum en .
b) La fonction f admet un maximum en .
c) La fonction f admet un minimum en .
d) Au point d’abscisse − 1, la courbe de la fonction f admet une tangente horizontale.
▶ 2. a) La fonction f est convexe sur .
b) La fonction f est convexe sur .
c) La courbe f représentant la fonction f n’admet pas de point d’inflexion.
d) La fonction f est concave sur .
▶ 3. La dérivée seconde de la fonction f vérifie :
a) pour
b) pour x ∈[- 2 ; - 1]
c)
d)
▶ 4. On considère trois suites (un), (vn) et (wn). On sait que, pour tout entier naturel n, on a un ≤ vn ≤ wn et de plus et . On peut alors affirmer que :
a) La suite (vn) converge.
b) Si la suite (un) est croissante alors la suite (vn) est minorée par u0.
c) 1 ≤ v0 ≤ 3.
d) La suite (vn) diverge.
▶ 5. On considère une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n non nul, . On peut alors affirmer que :
a) La suite (un) diverge.
b) La suite (un) converge.
c)
d)
▶ 6. On considère (un) une suite réelle telle que pour tout entier naturel n, on a n < un < n + 1. On peut affirmer que :
a) Il existe un entier naturel N tel que uN est un entier.
b) La suite (un) est croissante.
c) La suite (un) est convergente.
d) La suite (un) n’a pas de limite.
Les clés du sujet
▶ 1. N’oubliez pas que la courbe donnée représente la fonction , dérivée de la fonction f.
▶ 2. La convexité de f est liée au sens de variation de .
▶ 3. est la dérivée de , donc le signe de est lié au sens de variation de .
▶ 5. Pensez au théorème de convergence monotone.
▶ 1. Étudier les extremums d’une fonction
Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction dérivable f admette un extrémum en a est que f′ s’annule et change de signe en a.
, si , si , donc f est croissante sur , décroissante sur ; f admet un maximum en . La réponse b) est exacte, la réponse c) est fausse.
La réponse a) est fausse car .
La réponse d) est fausse car .
La bonne réponse est b).
▶ 2. Étudier la convexité d’une fonction
La fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si est croissante sur I ; elle est concave sur I si et seulement si est décroissante sur I.
f est convexe sur car est croissante sur cet intervalle. Donc la réponse a) est exacte, la réponse d) est fausse.
f n’est pas convexe sur car n’est pas croissante sur , la réponse b) est fausse.
La réponse c) est fausse, le point d’abscisse est un point d’inflexion de la courbe f car f′ change de sens de variation en .
mot clé
Le point d’abscisse a est un point d’inflexion de f si et seulement s’il y a en a un changement de convexité de f, c’est-à-dire si et seulement si s’annule et change de signe en a.
La bonne réponse est a).
▶ 3. Étudier la dérivée seconde d’une fonction
f′ admet un maximum en , donc . Au point d’abscisse , la courbe représentative de a une tangente horizontale.
Les réponses a) et b) sont fausses car n’est pas croissante sur , ni sur [- 2 ; - 1]. La réponse d) est fausse ; f″(- 3)≠ 0 car au point d’abscisse - 3, la courbe représentative de n’a pas une tangente horizontale.
La bonne réponse est c).
▶ 4. Déterminer une propriété d’une suite
Si la suite (un) est croissante, alors pour tout entier naturel n, u0 ≤ un. Or un ≤ vn, donc u0 ≤ un ≤ vn.
u0 est bien un minorant de la suite (vn).
à noter
u0 est aussi un minorant de la suite (un), une suite croissante est toujours minorée par son premier terme.
On ne dispose pas de suffisamment d’informations pour conclure quant aux affirmations a), c) et d).
La bonne réponse est b).
▶ 5. Étudier la convergence d’une suite
Pour tout entier naturel n non nul, .
La suite (un) est donc croissante et majorée par 1, donc d’après le théorème de convergence monotone, elle converge. L’affirmation a) est fausse. On n’a pas suffisamment d’informations pour déterminer la limite de la suite (un).
La bonne réponse est b).
▶ 6. Déterminer une propriété d’une suite
Pour tout entier naturel n, n < un < n + 1 et n + 1 < un+1 < n + 2, donc un < un+1. La suite (un) est croissante.
D’après un théorème de comparaison, , donc les affirmations c) et d) sont fausses. D’autre part, chacun des termes est strictement compris entre deux entiers consécutifs, donc aucun terme n’est entier. L’affirmation a) est fausse.
La bonne réponse est b).