Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

QCM sur les fonctions, la loi normale et les intervalles de confiance : 5 questions

Analyse • Intégration

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1305_09_05C

Liban • Mai 2013

Exercice 1 • 5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

> 1. Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

> 2. Une primitive de sur définie par est la fonction définie par :

> 3. La valeur exacte de l'intégrale est égale à :

> 4. Si une variable aléatoire suit la loi normale N(1 4), alors une valeur approchée au centième de est :

a) 0,15

b) 0,09

c) 0,34

d) 0,13

> 5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.

L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Convexité • Primitive • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

> 1. D'après le cours, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

> 2. F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

> 3. Déterminez une primitive de la fonction afin de calculer l'intégrale.

> 5. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est un intervalle auquel, d'après le sondage, la cote de popularité du maire appartient avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.

> 1. Étudier la convexité d'une fonction

Les quatre fonctions proposées sont deux fois dérivables sur .

Parmi ces quatre fonctions, la fonction définie par est la seule dont la dérivée seconde est positive sur

Les expressions des dérivées secondes des trois autres fonctions sont :

Donc la bonne réponse estd).

> 2. Déterminer une primitive d'une fonction

Soit la fonction définie sur par .

est dérivable sur et, pour tout dans cet intervalle :

Les expressions des dérivées des trois autres fonctions sont :

Donc la bonne réponse estb).

> 3. Calculer une intégrale

Notez bien

Par définition d'une intégrale, , où est une primitive de .

Une primitive sur ℝ de la fonction est la fonction . D'où :

Donc la bonne réponse estd).

> 4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Attention

Lorsque suit la loi normale d'espérance et d'écart type , on dit que suit la loi normale .

La variable aléatoire suit la loi normale N(1 4), c'est-à-dire la loi normale d'espérance et d'écart type .

D'après la calculatrice, est égale à environ 0,14988.

Donc la bonne réponse esta).

> 5. Déterminer un intervalle de confiance

Si la fréquence d'individus satisfaits de leur maire est 0,55 sur un échantillon de taille , alors, puisque les conditions sont remplies, l'intervalle de confiance de niveau 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :