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QCM sur les fonctions, les pourcentages et la loi normale

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 1 • 6 points • 1 h

QCM sur les fonctions, les pourcentages et la loi normale

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Loi normale.

 

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

1. On considère la fonction f définie sur par f(x)=x ex. La fonction f est :

a) concave sur ]0]

b) convexe sur ]0]

c) concave sur [0+[

d) convexe sur [0+[

2. On considère l'équation d'inconnue x : (3x+1)ex=0. Cette équation admet sur  :

a) 0 solution

b) 1 solution

c) 2 solutions

d) plus de 3 solutions

3. On a constaté que, sur dix ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8 % par an. On peut affirmer que, sur dix ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de :

a) 80 %

b) 116 %

c) 216 %

d) 43 %

4. La courbe Cg ci-dessous représente une fonction g définie et dérivable sur [0  3].

matT_1609_04_00C_01

On note g sa fonction dérivée  on a :

a) g(2)=1

b) g(2)=5

c) g(2)=43

d) g(2)=2

5. Soit la fonction h définie sur par h(x)= e3x+2.

Une primitive H de h peut être définie sur par :

a) H(x)=3 e3x+2

b) H(x)=13 e3x+2

c) H(x)=(3x+2)e3x+2

d) H(x)=e3x+2

6. Pour la loi normale représentée ci-dessous, on a :

P(9X12)0,82102 près).

matT_1609_04_00C_02

Les paramètres de la loi X sont :

a) μ = 10 et σ = 2

b) μ = 11 et σ = 2

c) μ = 10 et σ = 1

d) μ = 11 et σ = 3

Les clés du sujet

3. Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 8 % et celui correspondant à des évolutions successives en pourcentages.

4. g(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

6. Si la variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance μ, alors la droite d'équation x = μ est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.

Corrigé

1. Étudier la convexité d'une fonction

La fonction f est définie sur par f(x)=x ex.

Pour tout réel x :

f(x)=ex+x ex=(1+x)ex

f(x)=ex+(1+x)ex=(2+x)ex.

Le signe de f(x) est celui de (2 + x).

Si x  0, alors f(x)>0  f est convexe sur [0 +[.

Sur ]0], le signe de f(x) n'est pas constant  f n'est donc ni convexe, ni concave sur cet intervalle.

La bonne réponse est d).

2. Déterminer le nombre de solutions d'une équation

(3x+1)ex=0 équivaut à 3x + 1 = 0 ou ex=0.

Or ex0 (ex>0) pour tout réel x, donc l'équation équivaut à 3x + 1 = 0, c'est-à-dire x=13. Elle a donc une seule solution.

La bonne réponse est b).

3. Calculer un pourcentage

Chaque année, le prix est multiplié par 1,08. S'il augmente de 8 % chaque année pendant dix années successives, il est globalement multiplié par (1,08)10.

Or (1,08)102,16=1+1,16=1+116100.

Le prix a donc augmenté sur dix ans d'environ 116 %.

La bonne réponse est b).

4. Déterminer graphiquement un nombre dérivé

g(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

matT_1609_04_00C_04

Graphiquement, on observe qu'au point d'abscisse 2, la courbe a une tangente de coefficient directeur négatif. Donc g(2)0, ce qui écarte les réponses c) et d). La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 passe par les points de coordonnées (2  1,5) et (3,5  0). Son coefficient directeur est donc égal à – 1.

La bonne réponse est a).

notez bien

H est une primitive de h si et seulement si H=h.

5. Déterminer une primitive d'une fonction

Les quatre fonctions proposées sont dérivables sur . On calcule leur dérivée en utilisant la formule (eu)=ueu.

a) H(x)=3 e3x+2  H(x)=3×3 e3x+2=9 e3x+2 h(x).

b) H(x)=13 e3x+2  H(x)=13×3 e3x+2=e3x+2=h(x).

c) H(x)=(3x+2)e3x+2  H(x)=3e3x+2+(3x+2)×3e3x+2=(9x+9)e3x+2h(x).

d) H(x)=e3x+2  H(x)=3e3x+2h(x).

La bonne réponse est b).

6. Calculer une probabilité à l'aide d'une loi normale

La droite d'équation x = 10 est axe de symétrie de la courbe, donc μ = 10  on peut donc éliminer les réponses b) et d).

On utilise ensuite la calculatrice.

Avec μ = 10 et σ = 2, on obtient P(9X12)0,53 à 102 près.

Avec μ = 10 et σ = 1, on obtient P(9X12)0,82 à 102 près.

La bonne réponse est c).

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