QCM sur les pourcentages, les fonctions et les probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets de type QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

QCM

matT_1606_02_06C

Ens. spécifique

29

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 3 • 4 points

QCM sur les pourcentages, les fonctions et les probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

▶ 1. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [15 ; 20] est :

a) 550

b) 18

c) 140

d) 15

▶ 2. Le prix d’un produit est passé de 200 € à 100 €.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :

a) 50 %

b) 25 %

c) 29 %

d) 71 %

▶ 3. On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle [0 ; 18].

matT_1606_02_00C_01

On peut affirmer que :

a) Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [0 ; 2].

b) Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [8 ; 12].

c) Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [0 ; 2].

d) Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [8 ; 12].

▶ 4. Lors d’un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu’elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L’intervalle de confiance au seuil de 95 % donné par l’institut de sondage est [51 % ; 56 %]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

a) 40

b) 400

c) 1 600

d) 6 400

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Primitive • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

▶ 1. Introduisez une variable aléatoire suivant une loi connue.

▶ 2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de t % est 1−t100. Le coefficient multiplicateur global associé à deux évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondant à ces deux évolutions.

▶ 3. Si F est une primitive de f, alors F′=f ; les variations de F se déduisent du signe de f.

▶ 4. Utilisez par exemple la relation entre la taille d’un échantillon et l’amplitude d’un intervalle de confiance au seuil de 95 % que cet échantillon permet de déterminer.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

Info

La probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

La variable aléatoire X représentant un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [10 ; 50] suit la loi uniforme sur l’intervalle [10 ; 50], d’où :

p(15≤X≤20)=20−1550−10=540=18.

La bonne réponse est b).

▶ 2. Déterminer un pourcentage d’évolution connaissant le pourcentage associé à deux évolutions successives

Info

On pourrait aussi considérer les pourcentages proposés et déterminer, pour chacun d’eux, le pourcentage d’évolution correspondant à deux baisses successives identiques de ce pourcentage.

Pour une baisse de 29 %, le coefficient multiplicateur est 0,71 ; pour deux baisses successives de 29 %, le coefficient multiplicateur global est 0,712, soit environ 0,5.

Si t est le pourcentage cherché, le coefficient multiplicateur associé à chacune des deux baisses est 1−t100 ; le coefficient multiplicateur global, associé à l’évolution totale résultant des deux baisses successives identiques de t %, est (1−t100)2.

On sait d’autre part que le prix du produit est passé de 200 € à 100 €, il a donc subi une baisse de 50 %, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur égal à 0,5, d’où (1−t100)2=0,5, c’est-à-dire 1−t100=0,5, soit :

t=100(1−0,5)≈29.

La bonne réponse est c).

▶ 3. Déterminer une propriété des primitives d’une fonction sur un intervalle donné

Si F est une primitive de f sur [0 ; 18], alors F′=f sur [0 ; 18], f est la dérivée de F.

Donc F est croissante sur tout intervalle où f est positive, F est décroissante sur tout intervalle où f est négative.

D’après la représentation graphique, f est positive sur [8 ; 12], donc toute primitive de f sur [0 ; 18] est croissante sur cet intervalle.

La fonction f ne donne aucune information sur le signe de ses primitives, les réponses a) et b) peuvent donc être exclues. f est négative sur [0 ; 2], donc ses primitives sont décroissantes sur cet intervalle, la réponse c) est inexacte.

La bonne réponse est d).

▶ 4. Donner la taille d’un échantillon permettant d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 donné

Info

On peut aussi déterminer la taille n de l’échantillon (c’est-à-dire le nombre de personnes interrogées) en résolvant l’une des deux équations : f−1n=0,51 ou f+1n=0,56, avec f=0,535.

Si f est la fréquence de personnes ayant déclaré qu’elles voteront pour le candidat A dans un échantillon de taille n, alors un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion p de personnes déclarant voter pour le candidat A dans l’ensemble de la population est :

[f−1n ; f+1n].

Cet intervalle a pour amplitude 2n.

Or l’institut de sondage donne comme intervalle de confiance au seuil de 95 % l’intervalle [0,51 ; 0,56], d’amplitude 0,05.

Donc 2n=0,05, qui équivaut à n=(20,05)2=1 600.

La bonne réponse est c).