QCM
matT_1606_02_06C
Ens. spécifique
29
Amérique du Nord • Juin 2016
Exercice 3 • 4 points
QCM sur les pourcentages, les fonctions et les probabilités
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
▶ 1. On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [10 50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle [15 20] est :
a)
b)
c)
d)
▶ 2. Le prix d'un produit est passé de 200 € à 100 €.
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :
a)
b)
c)
d)
▶ 3. On donne ci-après la courbe représentative d'une fonction définie et continue sur l'intervalle [0 18].
On peut affirmer que :
a) Toutes les primitives de la fonction sur l'intervalle [0 18] sont négatives sur l'intervalle [0 2].
b) Toutes les primitives de la fonction sur l'intervalle [0 18] sont négatives sur l'intervalle [8 12].
c) Toutes les primitives de la fonction sur l'intervalle [0 18] sont croissantes sur l'intervalle [0 2].
d) Toutes les primitives de la fonction sur l'intervalle [0 18] sont croissantes sur l'intervalle [8 12].
▶ 4. Lors d'un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95 % donné par l'institut de sondage est [51 % 56 %]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :
a) 40
b) 400
c) 1 600
d) 6 400
Les clés du sujet
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Primitive • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
▶ 1. Introduisez une variable aléatoire suivant une loi connue.
▶ 2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de % est . Le coefficient multiplicateur global associé à deux évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondant à ces deux évolutions.
▶ 3. Si est une primitive de , alors les variations de se déduisent du signe de .
▶ 4. Utilisez par exemple la relation entre la taille d'un échantillon et l'amplitude d'un intervalle de confiance au seuil de 95 % que cet échantillon permet de déterminer.
Corrigé
▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme
Info
La probabilité qu'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l'amplitude de cet intervalle.
La variable aléatoire représentant un nombre réel choisi au hasard dans l'intervalle [10 50] suit la loi uniforme sur l'intervalle [10 50], d'où :
La bonne réponse est b).
▶ 2. Déterminer un pourcentage d'évolution connaissant le pourcentage associé à deux évolutions successives
Info
On pourrait aussi considérer les pourcentages proposés et déterminer, pour chacun d'eux, le pourcentage d'évolution correspondant à deux baisses successives identiques de ce pourcentage.
Pour une baisse de 29 %, le coefficient multiplicateur est 0,71 pour deux baisses successives de 29 %, le coefficient multiplicateur global est , soit environ 0,5.
Si est le pourcentage cherché, le coefficient multiplicateur associé à chacune des deux baisses est le coefficient multiplicateur global, associé à l'évolution totale résultant des deux baisses successives identiques de %, est
On sait d'autre part que le prix du produit est passé de 200 € à 100 €, il a donc subi une baisse de 50 %, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur égal à 0,5, d'où , c'est-à-dire , soit :
.
La bonne réponse est c).
▶ 3. Déterminer une propriété des primitives d'une fonction sur un intervalle donné
Si est une primitive de sur [0 18], alors sur [0 18], est la dérivée de .
Donc est croissante sur tout intervalle où est positive, est décroissante sur tout intervalle où est négative.
D'après la représentation graphique, est positive sur [8 12], donc toute primitive de sur [0 18] est croissante sur cet intervalle.
La fonction ne donne aucune information sur le signe de ses primitives, les réponses a) et b) peuvent donc être exclues. est négative sur [0 2], donc ses primitives sont décroissantes sur cet intervalle, la réponse c) est inexacte.
La bonne réponse est d).
▶ 4. Donner la taille d'un échantillon permettant d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 donné
Info
On peut aussi déterminer la taille de l'échantillon (c'est-à-dire le nombre de personnes interrogées) en résolvant l'une des deux équations : ou , avec .
Si est la fréquence de personnes ayant déclaré qu'elles voteront pour le candidat A dans un échantillon de taille , alors un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de personnes déclarant voter pour le candidat A dans l'ensemble de la population est :
.
Cet intervalle a pour amplitude .
Or l'institut de sondage donne comme intervalle de confiance au seuil de 95 % l'intervalle [0,51 0,56], d'amplitude 0,05.
Donc , qui équivaut à .
La bonne réponse est c).