QCM sur les probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud

Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 4 • 4 points

QCM sur les probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Les probabilités sont données à 0,001 près.

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent 400 enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32 % des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

1. Le nombre d’enfants issus des villages voisins est :

a) 128

b) 272

c) 303

d) 368

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d’enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d’enfants de l’équipe habitant le village de Boisjoli.

2. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres :

a) n=400 et p=0,32

b) n=8 et p=0,32

c) n=400 et p=18

d) n=8 et p=0,68

3. La probabilité que dans l’équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

a) 0,125

b) 0,875

c) 0,954

d) 1

4. L’espérance mathématique de X est :

a) 1,7408

b) 2,56

c) 87,04

d) 128

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Variable aléatoire • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

1. Déterminez d’abord le nombre d’enfants qui habitent Boisjoli, ou bien le pourcentage, parmi les enfants présents à la fête, d’enfants issus des villages voisins.

3. Il est préférable de considérer l’événement contraire de celui dont la probabilité est demandée.

4. Utilisez un résultat du cours.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer un effectif à partir d’un pourcentage

Puisque 32 % des enfants présents habitent Boisjoli, 68 % sont issus des villages voisins.

400×68100=272, donc sur les 400 enfants présents à la fête, 272 sont issus des villages voisins.

La bonne réponse est b).

2. Déterminer la loi d’une variable aléatoire et les paramètres de cette loi

L’expérience qui consiste à choisir 8 enfants au hasard est la répétition de 8 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où le succès est « l’enfant habite le village de Boisjoli ».

Notez bien

Puisque 272 enfants sont issus des villages voisins, 128 enfants habitent le village de Boisjoli.

La probabilité de succès est p=128400=0,32.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres :

n=8 et p=0,32.

La bonne réponse est b).

3. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Notez bien

L’événement « dans l’équipe, il y a au moins un enfant habitant le village de Boisjoli » a pour événement contraire « dans l’équipe, il n’y a aucun enfant habitant le village de Boisjoli ».

La probabilité que, dans l’équipe, il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

P(X1).

P(X1)=1P(X=0)=10,6880,954 à 0,01 près.

La bonne réponse est c).

4. Calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p est n×p.

L’espérance mathématique de X est donc E(X)=8×0,32=2,56.

La bonne réponse est b).