Intervalle de fluctuation • Estimation
matT_1405_09_10C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Liban • Mai 2014
Exercice 2 • 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée 
de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236. (Source : Inpes)
On a 
.
près :
Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.
de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01 vaut :
(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.)
Les thèmes en jeu
Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
.
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
La probabilité qu'un jeune de 15 à 19 ans choisi au hasard ne soit pas un fumeur régulier est 
, soit 0,764.
Si on choisit 10 jeunes de 15 à 19 ans au hasard et de manière indépendante, la probabilité qu'aucun ne soit fumeur régulier est 
.
> 2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence d'un caractère dans un échantillon de taille 
d'une population dans laquelle la proportion d'individus possédant le caractère est 
est :
.
Ici, 
et 
on arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, de façon à obtenir un intervalle contenant l'intervalle exact :
soit, à 10–3 près, 
> 3. Déterminer la taille minimale d'un échantillon
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 donné dans la question précédente a une amplitude égale à 
.
On cherche donc un entier 
(taille de l'échantillon) tel que :
.
Cette inégalité équivaut à :
.
Or 
et 
est un entier.
> 4. Déterminer un intervalle de confiance
La fréquence de filles dans l'échantillon considéré est 
.
Un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :
avec 
(taille de l'échantillon).
On arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès :
soit, à 10–2 près, I