QCM sur les probabilités : 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
QCM sur les probabilités : 4 questions

Intervalle de fluctuation • Estimation

matT_1405_09_10C

Ens. spécifique

30

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 2 • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

Un fumeur est dit fumeur régulier s’il fume au moins une cigarette par jour.

En 2010, en France, la proportion notée de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236. (Source : Inpes)

On a .

>1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à près :

a) 0,236

b) 0

c) 0,068

d) 0,764

>2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :

Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.

a) [0,198 ; 0,274]

b) [0,234 ; 0,238]

c) [0,191 ; 0,281]

d) [0,192 ; 0,280]

>3. La taille de l’échantillon choisi afin que l’amplitude de l’intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01 vaut :

a)

b)

c)

d)

>4. Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles. Au seuil de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :

(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.)

a) [0,35 ; 0,45]

b) [0,33 ; 0,46]

c) [0,39 ; 0,40]

d) [0,30 ; 0,50]

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. Utilisez le fait que les 10 jeunes sont choisis au hasard et de manière indépendante, et que la probabilité qu’un jeune ne soit pas un fumeur régulier est égale à .

>2. Vérifiez qu’on est dans les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique et utilisez l’expression d’un tel intervalle vue dans le cours ; attention également à l’arrondi des bornes.

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu’un jeune de 15 à 19 ans choisi au hasard ne soit pas un fumeur régulier est , soit 0,764.

Si on choisit 10 jeunes de 15 à 19 ans au hasard et de manière indépendante, la probabilité qu’aucun ne soit fumeur régulier est .

La bonne réponse estc).

>2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence d’un caractère dans un échantillon de taille d’une population dans laquelle la proportion d’individus possédant le caractère est est :

.

Ici, et  ; on arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, de façon à obtenir un intervalle contenant l’intervalle exact :

soit, à 10–3 près,

La bonne réponse esta).

>3. Déterminer la taille minimale d’un échantillon

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 donné dans la question précédente a une amplitude égale à .

On cherche donc un entier (taille de l’échantillon) tel que :

.

Cette inégalité équivaut à :

.

Or et est un entier.

La bonne réponse estd).

>4. Déterminer un intervalle de confiance

La fréquence de filles dans l’échantillon considéré est .

Un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :

avec (taille de l’échantillon).

On arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès :

soit, à 10–2 près, I= [0,33 ; 0,46].

La bonne réponse estb).