QCM sur les probabilités : 5 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie

 

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 1 • 5 points

QCM sur les probabilités : 5 questions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève aucun point.

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l’ensemble des transports vers cette île.

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s’y étant rendus a produit les résultats suivants :

60 % des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ;

parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l’île, 20 % sont satisfaits de leur transport ;

48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île.

On interroge au hasard un touriste s’étant rendu sur l’île :

1. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est :

a) 0,08

b) 1742376-Eqn1

c) 1742376-Eqn2

d) 1742376-Eqn3

2. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est :

a) 0,34

b) 1742376-Eqn4

c) 1742376-Eqn5

d) 1742376-Eqn6

3. On rappelle que 48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l’île. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l’île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l’île.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de F est :

a) 1742376-Eqn7

b) 1742376-Eqn8

c) 1742376-Eqn9

d) 1742376-Eqn10

4. On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l’île parmi les 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire 1742376-Eqn11 qui suit une loi normale de moyenne 1742376-Eqn12 et d’écart-type 1742376-Eqn13.

La probabilité, selon ce modèle, qu’il y ait moins de 40 touristes satisfaits est, à 0,001 près :

a) 0,055

b) 1742376-Eqn14

c) 1742376-Eqn15

d) 1742376-Eqn16

5. La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l’île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [30 ; 50].

La probabilité que la traversée entre le continent et l’île dure au moins 35 minutes est :

a) 0,25

b) 1742376-Eqn17

c) 1742376-Eqn18

d) 1742376-Eqn19

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation

Les conseils du correcteur

1. La probabilité demandée est celle de l’intersection de deux événements.

2. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer la probabilité de l’intersection de deux événements

Soit A l’événement « le touriste interrogé a choisi la compagnie A » et S l’événement « le touriste interrogé est satisfait de son transport ».

La probabilité que le touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est la probabilité de l’événement 1742376-Eqn118.

1742376-Eqn119. Or 1742376-Eqn120 car 60 % des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A et 1742376-Eqn121 car, parmi les touristes ayant choisi la compagnie A, 20 % sont satisfaits de leur transport.

D’où : 1742376-Eqn122.

La bonne réponse est b).

2. Déterminer une probabilité conditionnelle

La probabilité que le touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est 1742376-Eqn123

D’après la question précédente :

1742376-Eqn124.

48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île, donc :

1742376-Eqn126.

P(S) étant non nulle :

1742376-Eqn127 1742376-Eqn128.

La bonne réponse est c).

3. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de 1742376-Eqn129 est :

1742376-Eqn130.

1742376-Eqn131 (taille de l’échantillon) et 1742376-Eqn132, puisque 48 % des touristes sont satisfaits de leur transport vers l’île.

Donc np = 48 et n(1 – p) = 52 sont supérieurs à 5 et on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

En arrondissant par défaut la borne gauche, par excès la borne droite (de manière à ne pas réduire l’encadrement), 1742376-Eqn133 est contenu dans 1742376-Eqn134.

La bonne réponse est a).

4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité cherchée est 1742376-Eqn135.

Or 1742376-Eqn136 car 1742376-Eqn137 suit une loi normale de moyenne 48.

D’après la calculatrice, 1742376-Eqn138, d’où :

1742376-Eqn139.

La bonne réponse est a).

5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle borné

Notez bien

La probabilité que 1742376-Eqn140 prenne une valeur dans un intervalle donné (contenu dans [30 ; 60]) est proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

1742376-Eqn141 suit la loi uniforme sur [30 ; 60], donc :

1742376-Eqn142

La bonne réponse est d).