Terminale générale Mathématiques Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1

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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1 Exercice 1

QCM sur les probabilités (5 questions)

45 min

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, les premières questions portent sur les probabilités conditionnelles. Les deux dernières concernent une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte. Les questions sont indépendantes.

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

20 % des machines sont sous garantie ;

0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;

8,2 % des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les événements suivants :

G : « la machine est sous garantie » ;

D : « la machine est défectueuse » ;

$\bar{G}$ et $\bar{D}$ désignent respectivement les événements contraires de G et D.

Pour répondre aux questions 1. à 3., on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-dessous.

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▶ 1. La probabilité $p_{G} (D)$ de l’événement D sachant que G est réalisé est égale à :

a) 0,002

b) 0,01

c) 0,024

d) 0,2

▶ 2. La probabilité p( $\bar{G} \cap$ D) est égale à :

a) 0,01

b) 0,08

c) 0,1

d) 0,21

▶ 3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{- 3}$ près, à :

a) 0,01

b) 0,024

c) 0,082

d) 0,1

Pour les questions 4. et 5., on choisit au hasard et de façon indépendante n machines de l’entreprise, où n désigne un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par X la variable aléatoire qui associe à chaque lot de n machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,082.

▶ 4. Dans cette question, on prend n = 50.

La valeur de la probabilité p(X > 2), arrondie au millième, est de :

a) 0,136

b) 0,789

c) 0,864

d) 0,924

▶ 5. On considère un entier n pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille n fonctionnent correctement est supérieure à 0,4. La plus grande valeur possible pour n est égale à :

a) 5

b) 6

c) 10

d) 11

Les clés du sujet

▶ 1. Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle et traduisez les données de l’énoncé en termes de probabilités.

▶ 2. N’oubliez pas que, parmi les machines défectueuses, certaines sont sous garantie, quelques-unes ne le sont pas. Utilisez la formule des probabilités totales.

▶ 3. Dans cette question on demande une probabilité conditionnelle.

▶ 4. Utilisez la calculatrice.

▶ 1. Calculer une probabilité conditionnelle

Réponse b).

Par définition d’une probabilité conditionnelle, $p_{G} (D) = \frac{p (G \cap D)}{p (G)}$ .

Or :

$p (G \cap D) = 0,002$ car, d’après l’énoncé, 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;

$p (G) = 0,2$ car, d’après l’énoncé, 20 % des machines sont sous garantie.

D’où $p_{G} (D) = \frac{0,002}{0,2} = 0,01$ .

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Réponse b).

G et $\bar{G}$ forment une partition de l’univers.

D’après la formule des probabilités totales :

$p (D) = p (G \cap D) + p (\bar{G} \cap D)$ , donc $p (\bar{G} \cap D) = p (D) - p (G \cap D)$ .

$p (D) = 0,082$ car, d’après l’énoncé, 8,2 % des machines sont défectueuses ; donc $p (\bar{G} \cap D) = 0,082 - 0,002$ , soit $p (\bar{G} \cap D) = 0,08$ .

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

Réponse b).

La probabilité cherchée est p_D(G).

Par définition d’une probabilité conditionnelle, $p_{D} (G) = \frac{p (G \cap D)}{p (D)}$ .

Donc $p_{D} (G) = \frac{0,002}{0,082}$ ; $p_{D} (G) \approx 0,024$ .

▶ 4. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse b).

D’après la calculatrice : $p (X > 2) = p (X \geq 3) \approx 0,789$ .

à noter

Si la calculatrice ne donne pas directement le résultat, on utilise : $p (X > 2) = 1 - p (X \leq 2)$ .

Les deux événements $\{X > 2\}$ et $\{X \leq 2\}$ sont deux événements contraires, la somme de leurs probabilités est égale à 1.

▶ 5. Déterminer la valeur maximale d’un entier vérifiant une condition donnée

Réponse c).

La probabilité qu’une machine choisie au hasard fonctionne correctement, c’est-à-dire qu’elle ne soit pas défectueuse, est $p (\bar{D}) = 1 - p (D) = 0,918$ .

La probabilité que toutes les machines d’un lot de taille n, choisies au hasard et de façon indépendante, fonctionnent correctement est donc égale à 0,918ⁿ.

Dans cette question, on cherche n tel que ${0,918}^{n} \geq 0,4$ .

${0,918}^{n} \geq 0,4$ équivaut à $n \ln (0,918) \geq \ln (0,4)$ car la fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞[.

Donc ${0,918}^{n} \geq 0,4 \Leftrightarrow n \leq \frac{\ln (0,4)}{ln (0,918)}$ car $\ln (0,918) < 0$ .

Or $\frac{\ln (0,4)}{\ln (0,918)} \approx 10,7$ .

La plus grande valeur entière possible de n est donc 10.

QCM sur les probabilités (5 questions)

Les clés du sujet

▶ 1. Calculer une probabilité conditionnelle

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

▶ 4. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

à noter

▶ 5. Déterminer la valeur maximale d’un entier vérifiant une condition donnée

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