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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2
SPRINT FINAL
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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 2 Exercice 1
QCM sur les probabilités dans un jeu vidéo
Intérêt du sujet • Dans cet exercice, les deux premières questions portent sur des probabilités conditionnelles. Les trois dernières concernent une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :
la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de .
On considère les événements suivants :
A : « Le joueur choisit le monde A » ;
B : « Le joueur choisit le monde B » ;
G : « Le joueur gagne la partie ».
▶ 1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
a)
b)
c)
d)
▶ 2. La probabilité de l’événement G sachant que B est réalisé est égale à :
a)
b)
c)
d)
Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue 10 parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de .
▶ 3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à :
a) 0,859
b) 0,671
c) 0,188
d) 0,187
▶ 4. On considère un entier naturel n pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus n parties est de 0,207. Alors :
a) n = 2
b) n = 3
c) n = 4
d) n = 5
▶ 5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
a)
b)
c)
d)
Les clés du sujet
▶ 1. On demande ici la probabilité de l’intersection de deux événements.
▶ 2. Dans cette question, on demande une probabilité conditionnelle. N’oubliez pas que, parmi les joueurs qui ont gagné la partie, certains ont choisi le monde A, d’autres le monde B. Utilisez la formule des probabilités totales.
▶ 3. Utilisez la calculatrice.
On peut représenter la situation par un arbre pondéré.
à noter
L’arbre est incomplet. Il pourra être complété avec le résultat de la question 2.
▶ 1. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements
Réponse c).
D’après l’arbre : .
▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle
Réponse b).
Les événements A et B forment une partition de l’univers, donc, d’après la formule des probabilités totales, . Donc :
.
Or, d’après l’énoncé, et d’après la question précédente, donc .
On en déduit : .
▶ 3. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
Réponse c).
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées (sur les 10 parties jouées). L’expérience est un schéma de Bernoulli formé de 10 épreuves successives identiques et indépendantes ; le succès est « la partie est gagnée », sa probabilité est égale à .
X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres 10 et , notée .
La probabilité que le joueur gagne exactement 6 parties est .
D’après la calculatrice, , soit environ 0,188 si on arrondit au millième.
à noter
La réponse d) (0,187) était également acceptée.
▶ 4. Déterminer un entier n vérifiant une condition donnée
Réponse b).
On cherche l’entier naturel n tel que .
On peut tester à l’aide de la calculatrice les valeurs proposées :
, , ,
(en arrondissant au millième).
▶ 5. Déterminer la probabilité d’un événement
Réponse d).
à noter
« Au moins une partie » signifie « une partie ou davantage ».
Les événements et sont deux événements contraires.
La probabilité cherchée est .
.
En effet, est la probabilité que le joueur perde les 10 parties, et la probabilité qu’il perde une partie donnée est égale à .