Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité
matT_1306_05_00C
ENS. SPÉCIFIQUE
29
CORRIGE
Asie • Juin 2013
Exercice 1 • 4 points
Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [–1 ; 1] ?
Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité 
?
?
424 d’entre elles déclarent qu’elles voteront pour le candidat H.
Soit 
la proportion d’électeurs de la population qui comptent voter pour H.
Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion 
?
Durée conseillée : 35 min.
Les thèmes en jeu
Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
La fonction de densité associée est constante sur [–2 ; 5].
(loi normale centrée réduite) est la fonction 
.
Dans cette question, il faut également tenir compte de l’échelle (unités indiquées sur les axes) ; on peut aussi utiliser l’image de zéro par cette fonction de densité.
> 1. Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle 
et si 
est un intervalle contenu dans 
, alors :
.
D’où :
.
Attention
Puisque X suit une loi normale d’espérance 3, alors 
.
> 2. Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
.
D’après la calculatrice :
.
Donc :
.
> 3. Reconnaître la courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale 
La courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale 
admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie ; cela élimine donc la courbe
Si 
est la fonction de densité de la loi normale 
, alors, pour tout réel 
:
.
Donc 
.
La courbe représentative de 
coupe donc l’axe des ordonnées en un point dont l’ordonnée est voisine de 0,4.
Graphiquement, on remarque que la courbe
> 4. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’une proportion p à partir d’un échantillon
Si 
est la fréquence dans l’échantillon de personnes qui déclarent qu’elles voteront pour le candidat H, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion 
de personnes de la population qui voteront pour ce candidat est 
, où 
est la taille de l’échantillon.
Notez bien
On remarque que les 4 intervalles proposés ont tous pour centre 0,53.
Ici, 
et 
, donc 
(en arrondissant au centième).
L’intervalle de confiance déterminé à partir de ces valeurs a donc pour bornes approximativement 
et 
.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.