QCM sur les probabilités et la loi normale : 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Asie
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM sur les probabilités et la loi normale : 4 questions
 
 

Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité

matT_1306_05_00C

ENS. SPÉCIFIQUE

29

CORRIGE

 

Asie • Juin 2013

Exercice 1 • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

>1. On choisit au hasard un réel de l’intervalle [–2 ; 5].

Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [–1 ; 1] ?

a)

b)

c)

d)

>2. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d’écart-type 2.

Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité  ?

a)

b) 0,68

c) 0,95

d) 0,99

>3. Quelle courbe représente la fonction de densité d’une variable aléatoire X qui suit la loi normale  ?

a)

b)

c)

d)

>4. Lors d’un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif).

424 d’entre elles déclarent qu’elles voteront pour le candidat H.

Soit la proportion d’électeurs de la population qui comptent voter pour H.

Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion  ?

a)

b) [0,48 ; 0,58] 

c) [0,49 ; 0,57] 

d) [0,51 ; 0,55] 

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. La situation peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [–2 ; 5].

La fonction de densité associée est constante sur [–2 ; 5].

>3. La fonction de densité d’une variable aléatoire X qui suit la loi normale (loi normale centrée réduite) est la fonction .

Dans cette question, il faut également tenir compte de l’échelle (unités indiquées sur les axes) ; on peut aussi utiliser l’image de zéro par cette fonction de densité.

Corrigé

>1. Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle et si est un intervalle contenu dans , alors :

.

D’où :

.

La bonne réponse estb).

 

Attention

Puisque X suit une loi normale d’espérance 3, alors .

>2. Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

.

D’après la calculatrice :

.

Donc :

.

La bonne réponse esta).

>3. Reconnaître la courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale

La courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie ; cela élimine donc la courbe a).

Si est la fonction de densité de la loi normale , alors, pour tout réel  :

.

Donc .

La courbe représentative de coupe donc l’axe des ordonnées en un point dont l’ordonnée est voisine de 0,4.

Graphiquement, on remarque que la courbe d) n’a aucun point commun avec l’axe des ordonnées d’ordonnée inférieure à 1, la courbe b) coupe cet axe au point d’abscisse 1 et la courbe c) coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’ordonnée est voisine de 0,4.

La bonne réponse estc).

>4. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d’une proportion p à partir d’un échantillon

Si est la fréquence dans l’échantillon de personnes qui déclarent qu’elles voteront pour le candidat H, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de personnes de la population qui voteront pour ce candidat est , où est la taille de l’échantillon.

 

Notez bien

On remarque que les 4 intervalles proposés ont tous pour centre 0,53.

Ici, et , donc (en arrondissant au centième).

L’intervalle de confiance déterminé à partir de ces valeurs a donc pour bornes approximativement et .

La bonne réponse estc).