QCM sur les probabilités et les fonctions

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 1 • 4 points

QCM sur les probabilités et les fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :

a) [0,713;0,771]

b) [0,692;0,808]

c) [0,754;0,813]

d) [0,701;0,799]

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [4 ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

a) 611

b) 107

c) 1011

d) 67

3. On considère la fonction f définie sur par f(x)=(x+1)e2x+3. La fonction f est dérivable sur et sa fonction dérivée f est donnée par :

a)f(x)=2 e2x+3

b)f(x)=e2x+3

c)f(x)=(2x+3) e2x+3

d)f(x)=(2x1) e2x+3

matT_1606_07_01C_01

4. On considère une fonction f définie et dérivable sur telle que sa fonction dérivée f soit aussi dérivable sur .

La courbe ci-contre représente la fonction f.

On peut alors affirmer que :

a) f est convexe sur [2;2].

b) f est concave sur [2;2].

c) La courbe représentative de f sur [2;2] admet un point d’inflexion.

d) f est croissante sur [2;2].

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale • Dérivée • Fonction exponentielle • Convexité • Point d’inflexion.

Les conseils du correcteur

1. N’oubliez pas que le centre d’un intervalle de confiance est la fréquence f observée dans l’échantillon interrogé.

2. Déterminez et utilisez l’intervalle I tel que « le nombre choisi est inférieur à 10 » soit équivalent à « le nombre choisi appartient à I ».

3. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

4. Attention, la courbe donnée représente la fonction f. Déduisez du graphique le signe de f.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer un intervalle de confiance

Notez bien

• La réponse c) pouvait être écartée d’emblée car l’intervalle [0,754 ; 0,813] ne contient pas f.

• On pouvait aussi utiliser le fait qu’un échantillon de taille n permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 d’amplitude 2n.

Si f est la fréquence de stagiaires satisfaits dans un échantillon de taille n, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de stagiaires satisfaits dans l’ensemble de la population est :

[f1n;f+1n].

Ici f=225300=0,75 et n=300.

f1n0,692 (par défaut) ;

f+1n0,808 (par excès).

La bonne réponse est b).

2. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

Info

La probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

La variable aléatoire X représentant un nombre choisi au hasard dans l’intervalle [4 ; 11] suit la loi uniforme sur [4 ; 11].

Le nombre choisi est inférieur (ou inférieur ou égal) à 10 si et seulement si il appartient à l’intervalle [4 ; 10].

P(4X10)=104114=67.

La bonne réponse est d).

3. Calculer la dérivée d’une fonction

D’après la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions, pour tout réel x :

f(x)=1×e2x+3+(x+1)×(2 e2x+3)f(x)=e2x+3(12x2)f(x)=(2x1) e2x+3.

La bonne réponse est d).

4. Étudier graphiquement la convexité d’une fonction et l’existence d’un point d’inflexion de sa courbe représentative

D’après le graphique, f s’annule et change de signe en x=1. La courbe représentative de f présente donc un point d’inflexion d’abscisse 1.

f n’est ni convexe sur [2;2], ni concave sur [2;2] car sa dérivée seconde n’a pas un signe constant sur cet intervalle. De même, f n’est pas croissante sur [2;2] car f n’est pas positive sur tout l’intervalle [2;2].

La bonne réponse est c).