▶ 1. Déterminer une propriété d'une suite

donc par opérations, $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{u}_n=1$ et $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{v}_n=1$.

D'après le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=1$ ; la suite $(w_n)$ converge vers 1.

La bonne réponse est b).

▶ 2. Déterminer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle

On a f = uv avec $u(x)=x$ et $v(x)={\text{e}}^{x^2}$.

Ces deux fonctions sont dérivables sur ℝ et $u^{\prime }(x)=1$ et $v^{\prime }(x)=2x{\text{e}}^{x^2}$.

En utilisant $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ on obtient, pour tout réel x :

$f^{\prime }(x)=1\times {\text{e}}^{x^2}+x\times 2x{\text{e}}^{x^2}$.

soit, en mettant ${\text{e}}^{x^2}$ en facteur : $f^{\prime }(x)={\text{e}}^{x^2}(1+2x^2)$.

La bonne réponse est c).

▶ 3. Déterminer la limite en + ∞ d'une fonction rationnelle

La limite en l'infini d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, on a donc :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }(x^2-1)=+\text{∞}$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }(2x^2-2x+1)=+\text{∞}$.

Pour le quotient, on est donc dans un cas d'indétermination.

Pour tout réel x ≠ 0 :

$f(x)=\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$.

Or $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{2}{x}=0$, $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{1}{x^2}=0$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }-\frac{1}{x^2}=0$.

Donc, par opérations, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{1}{2}$.

La bonne réponse est c).

▶ 4. Déterminer une propriété d'une fonction à partir de trois valeurs

On ne connaît pas le « comportement » de la fonction f entre - 1 et 0, ni entre 0 et 1, donc les affirmations a) et b) sont fausses.

L'affirmation d) est fausse également, car on n'a pas d'information sur le sens de variation de f.

Comme $h(1)\le 1\le h(0)$ et h est continue sur l'intervalle [0 ; 1], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un nombre réel a dans l'intervalle [0 ; 1] tel que $h(a)= 1$.

La bonne réponse est c).

▶ 5. Déterminer une propriété d'une fonction à partir de la courbe de sa dérivée

L'affirmation a) est fausse car $g^{\prime }(-2)\ne 0$.

L'affirmation b) est fausse, g n'est pas croissante sur l'intervalle [1 ; 2] car, d'après la courbe, g′ est négative sur cet intervalle.

L'affirmation d) est fausse, g′ est positive sur [- 1 ; 0], négative sur [0 ; 1] ; donc g est croissante sur [- 1 ; 0], décroissante sur [0 ; 1] et elle a un maximum en 0.

Sur l'intervalle [1 ; 2], g′ est croissante d'après la courbe, donc g est convexe.

La bonne réponse est c).