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QCM sur les suites et les fonctions (5 questions)

Compléments sur les fonctions Sujet zéro 2020

QCM sur les suites et les fonctions (5 questions)

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Les cinq questions de ce sujet concernent différentes propriétés d'une suite ou d'une fonction. Certaines des réponses proposées correspondent à des erreurs « classiques », à des pièges dans lesquels il faut éviter de tomber.

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier naturel n :

un=114netvn=1+14n.

On considère de plus une suite (wn) qui, pour tout entier naturel n, vérifie un ≤ wn ≤ vn.

On peut affirmer que :

a) Les suites (un) et (vn) sont géométriques.

b) La suite (wn) converge vers 1.

c) La suite (un) est minorée par 1.

d) La suite (wn) est croissante.

2. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=xex2.

La fonction dérivée de f est la fonction f′ définie sur ℝ par :

a) f(x)=2xex2

b) f(x)=(1+2x)ex2

c) f(x)=(1+2x2)ex2

d) f(x)=(2+x2)ex2

3. Que vaut limx+x212x22x+1 ?

a) - 1

b) 0

c) 12

d) + 

4. On considère une fonction h continue sur l'intervalle [- 1 ; 1] telle que :

h(1)=0 ; h(0)=2 ; h(1)=0.

On peut affirmer que :

a) La fonction h est croissante sur l'intervalle [- 1 ; 0].

b) La fonction h est positive sur l'intervalle [- 1 ; 1].

c) Il existe au moins un nombre réel a dans l'intervalle [0 ; 1] tel que h(a)=1.

d) L'équation h(x)=1 admet exactement deux solutions dans l'intervalle [- 1 ; 1].

5. On suppose que g est une fonction dérivable sur l'intervalle [- 4 ; 4]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée g′.

matT_2000_14_00C_01

On peut affirmer que :

a) g admet un maximum en - 2.

b) g est croissante sur l'intervalle [1 ; 2].

c) g est convexe sur l'intervalle [1 ; 2].

d) g admet un minimum en 0.

 

Les clés du sujet

2. Calculez la dérivée de f en utilisant la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions et la formule (eu)=ueu.

3. Il s'agit d'un cas d'indétermination. Pour « lever » cette indétermination, mettez en facteur x2 au numérateur et au dénominateur, puis simplifiez le quotient.

4. Utilisez la continuité de h.

5. Notez bien que la courbe donnée est celle de la fonction g′.

1. Déterminer une propriété d'une suite

à noter

On utilise un théorème d'encadrement.

donc par opérations, limn+un=1 et limn+vn=1.

D'après le théorème des gendarmes, limn+wn=1 ; la suite (wn) converge vers 1.

La bonne réponse est b).

2. Déterminer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle

On a f = uv avec u(x)=x et v(x)=ex2.

Ces deux fonctions sont dérivables sur ℝ et u(x)=1 et v(x)=2xex2.

En utilisant (uv)=uv+uv on obtient, pour tout réel x :

f(x)=1×ex2+x×2xex2.

soit, en mettant ex2 en facteur : f(x)=ex2(1+2x2).

La bonne réponse est c).

3. Déterminer la limite en +  d'une fonction rationnelle

La limite en l'infini d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, on a donc :

limx+(x21)=+ et limx+(2x22x+1)=+.

Pour le quotient, on est donc dans un cas d'indétermination.

Pour tout réel x ≠ 0 :

f(x)=x211x2x222x+1x2=11x222x+1x2.

Or limx+2x=0, limx+1x2=0 et limx+1x2=0.

Donc, par opérations, limx+f(x)=12.

à noter

On peut en déduire que la courbe représentative de f possède en +  une asymptote horizontale d'équation y=12.

La bonne réponse est c).

4. Déterminer une propriété d'une fonction à partir de trois valeurs

On ne connaît pas le « comportement » de la fonction f entre - 1 et 0, ni entre 0 et 1, donc les affirmations a) et b) sont fausses.

L'affirmation d) est fausse également, car on n'a pas d'information sur le sens de variation de f.

Comme h(1)1h(0) et h est continue sur l'intervalle [0 ; 1], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un nombre réel a dans l'intervalle [0 ; 1] tel que h(a)= 1.

La bonne réponse est c).

5. Déterminer une propriété d'une fonction à partir de la courbe de sa dérivée

L'affirmation a) est fausse car g(2)0.

L'affirmation b) est fausse, g n'est pas croissante sur l'intervalle [1 ; 2] car, d'après la courbe, g′ est négative sur cet intervalle.

L'affirmation d) est fausse, g′ est positive sur [- 1 ; 0], négative sur [0 ; 1] ; donc g est croissante sur [- 1 ; 0], décroissante sur [0 ; 1] et elle a un maximum en 0.

Sur l'intervalle [1 ; 2], g′ est croissante d'après la courbe, donc g est convexe.

La bonne réponse est c).

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