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Quand Newton vient en aide aux skateurs

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 2 • 5 points • 50 min

Quand Newton vient en aide aux skateurs

Les thèmes clés

Première loi de Newton • Conservation de l'énergie mécanique

Travail d'une force constante

 

La finale de skateboard du Fise World (Festival international des sports extrêmes) s'est déroulée le 5 mai 2016 à Montpellier. Parmi les nombreuses figures réalisées par les skateurs, les enchaînements de « ollie » et de « grind » se sont succédé.

Comment faire un « ollie » ?

Un « ollie » est la figure de base du skateboard. Il s'agit d'un saut effectué avec la planche. Pour réaliser cette figure, il faut donner un bon coup avec votre pied arrière (voir la photo). Il est important de bien faire claquer l'arrière de la planche  c'est ce qui vous permet de décoller.

D'après https://fr.wikihow.com/faire-un-ollie

pchT_1709_04_00C_01

ph© Li Zhongfei/stock.adobe.com

Enchaînement d'un « ollie » et d'un « grind »

Le skateur avance d'abord en ligne droite à vitesse constante, puis la réalisation d'un « ollie » lui permet d'accéder à un rail et de glisser alors sur les axes de roues et de réaliser ainsi un « grind ».

Cet enchaînement peut se décomposer de la manière illustrée par le schéma ci-dessous.

pchT_1709_04_00C_02

D'après Journal of Applied Biomechanics, University of Massachusetts, https://stilab.com/content/papers/kinetics-of-the-ollie-2.pdf

Données

Hauteur du rail : h = 45 cm.

Longueur du trajet sur le rail horizontal : L = EF = 2,0 m.

Masse du système S {skateur + planche} : m = 75 kg.

Intensité de la pesanteur : g = 9,8 m ∙ s–2.

pchT_1709_04_00C_03

L'étude du mouvement du système S {skateur + planche} est faite dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Dans tout l'exercice, le système S, considéré comme indéformable, est assimilé à un point matériel G situé à une distance H = 1,0 m du support où se trouve le skateur, quel que soit ce support (sol, rail…).

Pour toutes les phases du mouvement, on pose que l'énergie potentielle de pesanteur est nulle au niveau du sol.

Les quatre parties de l'exercice sont indépendantes.

1. parcours AB 5 min

1 Quelle est la nature du mouvement du système S sur le parcours AB ? (0,25 point)

2 Que peut-on dire, sur ce parcours, des forces exercées sur le système S ? Justifier la réponse. (0,25 point)

2. étude énergétique du « ollie » 15 min

On s'intéresse à présent au mouvement du système S sur le parcours CE. Le skateur effectue un « ollie »  il quitte le sol au point C au moment où sa vitesse est vC = 3,6 m ∙ s–1  il atteint le rail au point E avec la vitesse vE. On néglige les frottements sur le parcours CE.

1 Donner les expressions de l'énergie mécanique du système S au point C et au point E. (0,5 point)

2 En sachant que l'on néglige toute forme de dissipation d'énergie entre C et E, déterminer l'expression de la vitesse vE au point E en fonction de g, h et vC. (0,75 point)

3 En déduire la valeur de la vitesse vE au point E. (0,25 point)

3. étude énergétique du « grind » 20 min

On étudie à présent le mouvement du système S qui glisse sans rouler sur le rail horizontal, du point E au point F.

Les forces de frottement ne sont pas négligeables, elles sont assimilables à une force f unique, constante et opposée au sens du mouvement.

1 Le document ci-après rassemble les représentations graphiques de l'évolution des grandeurs énergie potentielle de pesanteur EP, énergie cinétique Ec, et énergie mécanique Em du système S sur le parcours EF.

Attribuer à chaque courbe l'énergie qui lui correspond en justifiant. (0,75 point)

pchT_1709_04_00C_04

indications pour le graphique : en abscisse mettre « x » en ital  en ordonnée remplacer les 3 énergies Ec, Ep, Em par E en ital suivi de (J) en romain >

">

2 Donner l'expression littérale du travail de la force f le long du parcours EF. (0,5 point)

3 En utilisant la non-conservation de l'énergie en présence de frottements, en déduire la valeur de l'intensité de la force de frottement f. (0,75 point)

4. étude énergétique
du mouvement sur la rampe 10 min

Le skateur quitte le rail, les roues du skate sont de nouveau en contact avec le sol et roulent sans frottement. Le skateur prend de l'élan jusqu'au point K pour aborder la rampe : la vitesse horizontale atteinte a pour valeur vK = 4,5 m ∙ s–1.

pchT_1709_04_00C_05

indications pour le schéma : z et H en ital  G et K en cap romain, déplacer « K » au bon endroit c'est-à-dire au croisement de l'axe vertical (Gz) avec la ligne horizontale représentant le sol>

">

Le skateur arrive en haut de la rampe avec une vitesse nulle.

Déterminer la hauteur de la rampe. (1 point)

Les clés du sujet

Partie 1

2 Utilisez une loi de Newton mettant en relation la nature du mouvement et les forces s'exerçant sur le système.

Partie 2

1 Utilisez les expressions littérales de chaque énergie et vérifez que l'altitude du système corresponde à l'altitude du point G.

2 C'est une question très classique, à laquelle vous devez savoir répondre. Il n'y a pas de dissipation d'énergie entre C et E, donc l'énergie mécanique se conserve.

Partie 3

1 Utilisez la présentation du mouvement sur le parcours EF pour en déduire comment varie la vitesse et l'altitude du système.

2 La force de frottement est opposée au sens du mouvement. Faites un schéma de la situation en représentant la force f: que constatez-vous ?

3 L'énergie mécanique ne se conservant pas, sa variation entre E et F est égale au travail des forces non conservatives, soit le travail des forces de frottement.

Partie 4

Comme le skateur roule sans frottement, pensez à appliquer la conservation de l'énergie mécanique.

Corrigé

1. parcours AB

1 Reconnaître la nature d'un mouvement

gagnez des points !

Pour caractériser complètement un mouvement, il faut deux adjectifs : l'un précise la nature de la trajectoire et l'autre l'évolution de la vitesse.

D'après l'énoncé, on sait qu'avant de réaliser le « ollie », sur le parcours AB, le skateur avance en ligne droite à vitesse constante. On en déduit que le skateur est animé d'un mouvement rectiligne uniforme étant donné que sa trajectoire est une droite et que la valeur de sa vitesse est constante sur cette partie du parcours.

2 Mettre en relation la nature du mouvement et les forces qui s'exercent sur le système

On sait que le système S est animé d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen, sur le parcours AB. Ainsi, en appliquant le principe d'inertie (ou première loi de Newton) au système S, on en déduit que l'ensemble des forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent.

2. étude énergétique du « ollie »

1 Donner l'expression de l'énergie mécanique

L'énergie mécanique Em s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique Ec et de l'énergie potentielle de pesanteur Epp aux points considérés.

Ainsi au point C, on a Em(C) = Ec(C) + Epp(C). Or :

Ec(C) = 12mvC2 et Epp(C) = mgzC

avec zC = zG = H (altitude du point G en position C)  d'où :

Em(C) = 12mvC2 + mgH

De même, au point E, on peut écrire Em(E) = Ec(E) + Epp(E). Or :

Ec(E) = 12mvE2 et Epp(E) = mgzE

avec zE = h + H (altitude du point G en position E)  d'où :

Em(E) = 12mvE2 + mg(h + H)

2 Trouver l'expression d'une vitesse en appliquant la conservation de l'énergie mécanique

Sachant qu'on néglige toute forme de dissipation d'énergie entre C et E, cela implique que l'on peut considérer que l'énergie mécanique du système S se conserve entre les points C et E. On peut alors écrire Em(C) = Em(E). D'où :

12mvC2+ mgH = 12mvE2+ mg(h + H)

12vC2+ gH = 12vE2+ gh + gH

vE2= vC2 – 2gh

notez bien

La valeur de la vitesse est obligatoirement positive donc on ne garde que l'expression littérale de la racine carrée positive.

De l'équation de second degré précédente, nous tirons :

vE=vC22gh

3 Calculer la valeur d'une vitesse

attention !

Les vitesses sont exprimées en m  s–1 donc n'oubliez pas d'exprimer la hauteur h en m.

L'expression de la vitesse est :

vE=vC2gh

d'où : vE=3,62×9,8 ×45×102= 2,0 m · s–1

3. étude énergétique du « grind »

1 Identifier des courbes d'énergies

D'après l'énoncé, on sait que le système S glisse sans rouler sur le rail horizontal, donc l'altitude de son centre de gravité ne varie pas de E à F. On en déduit que son énergie potentielle de pesanteur Ep = mgz reste constante de E à F. La courbe 2 correspond à l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur Ep.

Sur cette partie du mouvement, sachant que les forces de frottement ne sont pas négligeables et s'opposent au mouvement du système, on en déduit que la vitesse du système S va diminuer de E à F. Comme l'énergie cinétique est donnée par Ec(C) = 12mv2 (avec m constante), alors, si la vitesse v diminue, l'énergie cinétique Ec diminue aussi. La courbe 1 correspond à l'évolution de l'énergie cinétique Ec.

Enfin, on sait que Em = Ec + Ep. On a vu que l'énergie cinétique Ec diminue et que l'énergie potentielle de pesanteur Ep reste constante, ainsi on en déduit que l'énergie mécanique Em diminue au cours du mouvement de E à F. La courbe 3 correspond donc à l'évolution de l'énergie mécanique Em.

On peut confirmer ceci par une lecture graphique comme suit  pour x = 0 m, on a :

Ep = 330 J   Ec = 150 J   Em = 480 J

On retrouve bien que Ec + Ep = Em.

2 Exprimer le travail d'une force constante

pchT_1709_04_00C_06

indications pour le schéma : en habillage du texte à droite + le vecteur f en ital >

">

Le travail de la force f le long du parcours EF est donné par :

WEF(f)=fEF=f×EF×cosα

avec α, angle entre les vecteurs fetEF.

Or, d'après le schéma, on a :

α = 180° donc cos α = -1 et EF = L.

On a ainsi WEF(f)=f×L

3 Appliquer la non-conservation de l'énergie mécanique

attention !

La variation d'une grandeur correspond toujours à la différence entre la valeur finale et la valeur initiale : ∆Em = Em finale - Em initiale

D'après la non-conservation de l'énergie mécanique entre E et F, on a la relation suivante :

Em EF=WEF(f)

car la variation d'énergie mécanique entre E et F est égale au travail des forces non conservatives, soit ici le travail de la force de frottement f. En effet, le travail de l'autre force non conservative, la force de la réaction du rail sur le skate, est nul puisque cette force est perpendiculaire au déplacement. On en déduit l'égalité suivante : Em(F) – Em(E) = -f × L.

D'où : f=Em(E)Em(F)L

Par lecture graphique :

au point F, soit x = 2,0 m, on obtient Em(F) = 420 J 

au point E, soit x = 0 m, on obtient Em(E) = 480 J.

Ainsi, on a : f=4804202,0=3,0×101N

4. étude énergétique du mouvement sur la rampe

Déterminer la hauteur de la rampe

D'après l'énoncé, le skateur glisse sans frottement du point K jusqu'à la rampe par conséquent l'énergie mécanique du système S se conserve, d'où : Em(K) = Em(R) avec R, point en haut de la rampe.

On a donc : Ec(K) + Ep(K) = Ec(R) +Ep(R)  d'où :

12mvK2+ mgH = 12mvR2+ mg(hR + H) avec hR, hauteur de la rampe.

Le skateur arrive en haut de la rampe avec une vitesse nulle donc vR = 0 m ∙ s–1. Ainsi, on peut écrire :

12mvK2+ mgH = mg(hR + H)

12vK2+ gH = g(hR + H) d'où 12vK2= ghR

d'où hR = 12×vK2g= 12×4,529,8=1,0 m.

La rampe de skate a donc une hauteur de 1,0 m.

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