▶ 1. a) Déterminer la loi d'une variable aléatoire

a est fixé. L'expérience (le lancer des quatre dés) est la répétition de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (lancer d'un dé). Le succès est « le dé donne comme résultat a », la probabilité de succès est $\frac{1}{20}$ (les dés sont supposés équilibrés).

$M_a$ est la variable aléatoire égale au nombre de succès, donc $M_a$ suit la loi binomiale de paramètres 4 et $\frac{1}{20}$.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

$M_a$ prend pour valeurs 0, 1, 2, 3, 4.

$p=P(M_a\ge 2)=1-P(M_a=0)-P(M_a=1)$.

D'après les propriétés de la loi binomiale :

$p=1-{\left(\frac{19}{20}\right)}^4-\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)\times \frac{1}{20}\times {\left(\frac{19}{20}\right)}^3$.

Soit :

$p=\frac{{20}^4-{19}^4-4\times {19}^3}{{20}^4}=$$\frac{2 243}{160 000}$ et $p\approx \mathrm{0,014}$ à ${10}^{-3}$ près.

▶ 2. Déterminer la loi d'une variable aléatoire

$X_a$ ne prend comme valeurs que 0 et 1, donc elle suit une loi de Bernoulli. Son paramètre est $P(X_a=1)=P(M_a\ge 2)=p$.

$X_a$ suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

Son espérance est $E(X_a)=p$.

▶ 3. Démontrer par récurrence une égalité sur des nombres entiers

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n\ge 2$ :

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{n}a=\frac{n(n+1)}{2}$.

Initialisation : pour $n=2$ :

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{2}a=1+2=3$ et $\frac{2\times 3}{2}=3$.

On a bien égalité, la propriété est vraie pour $n=2$.

Hérédité : supposons que, pour un certain entier naturel n quelconque tel que $n\ge 2$, on ait (hypothèse de récurrence) :

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{n}a=\frac{n(n+1)}{2}$.

Alors :

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{n+1}a={\displaystyle \sum }_{a=1}^{n}a+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{n+1}a=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

La propriété est héréditaire, si elle est vraie pour l'entier n, alors elle est vraie pour l'entier $n+1$.

Conclusion : la propriété étant vraie pour $n=2$ et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.

▶ 4. a) Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

D'après les propriétés de l'espérance :

$E(G)={\displaystyle \sum }_{a=1}^{20}aE(X_a)$.

D'après la question précédente :

$E(G)={\displaystyle \sum }_{a=1}^{20}a\times p$.

Il s'agit d'une somme de 20 termes dans lesquels le nombre p, indépendant de a, peut être mis en facteur. Donc :

$E(G)=p{\displaystyle \sum }_{a=1}^{20}a$.

D'après la question précédente :

${\displaystyle \sum }_{a=1}^{20}a=\frac{20\times 21}{2}=210$.

Donc $E(G)=210p$.

$E(G)\approx \mathrm{2,944}$ à ${10}^{-3}$ près.

b) Interpréter l'espérance d'une variable aléatoire

$E(G)$ est le gain moyen par partie qu'un joueur peut espérer réaliser s'il joue un grand nombre de parties.