Quatre dés icosaédriques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Sommes de variables aléatoires
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Sommes de variables aléatoires

Quatre dés icosaédriques

45 min

4 points

Intérêt du sujet  Dans certains jeux de rôle, on utilise des dés de différentes formes, dont des dés en forme d’icosaèdres (à 20 faces, on les appelle aussi d20). Il s’agit ici d’étudier la loi d’une variable aléatoire issue du lancer de 4 de ces dés et d’en calculer l’espérance.

 

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On lance quatre dés équilibrés en forme d’icosaèdres réguliers, dont les 20 faces sont numérotées de 1 à 20, avec la règle suivante : lorsque, parmi les quatre dés, un nombre apparaît au moins deux fois, on marque un nombre de points égal à ce nombre.

mot clé

Un icosaèdre régulier comporte 20 faces qui sont des triangles équilatéraux tous identiques. Il a également 12 sommets et 30 arêtes. Le préfixe icosa vient du grec et signifie vingt.

Par exemple, si on obtient 581512, on ne marque aucun point ; si on obtient 118817, on marque 8 points.

1. Soit a un nombre entier compris entre 1 et 20. On appelle Ma la variable aléatoire qui, à chaque lancer des quatre dés, associe le nombre de dés affichant la face numérotée a.

a) Donner la loi de Ma.

b) On pose p=P(Ma2). Donner la valeur exacte de p, puis une valeur approchée à 103 près.

2. Pour tout entier a compris entre 1 et 20, on appelle Xa la variable aléatoire qui prend pour valeur 1 s’il y a au moins deux dés affichant la face numérotée a lors du lancer des quatre dés, 0 sinon.

Quelle est la loi suivie par Xa ? Quelle est son espérance ?

3. Montrer que, pour tout entier naturel n2 : a=1na=n(n+1)2.

4. Soit : G=a=120aXa.

a) Donner l’expression, en fonction de p, de l’espérance E(G) de la variable aléatoire G et donner une valeur approchée à 103 près de cette espérance.

b) Donner une interprétation de E(G).

 

Les clés du sujet

1. La loi de la variable aléatoire Ma ne dépend pas de a : les variables aléatoires Ma ont toutes la même loi. L’expérience est la répétition de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

2. Utilisez les propriétés des lois de Bernoulli.

3. Faites une démonstration par récurrence.

4. a) Utilisez les questions précédentes et les propriétés de l’espérance.