▶ 1. Si le nombre choisi au départ est 2, alors on lui ajoute 7 et on trouve 9.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient (2 – 7) soit – 5.

On multiplie les deux résultats précédents et on obtient (– 5) × 9 c’est-à-dire – 45.

Enfin on ajoute 50 et on obtient (– 45 + 50) soit $\boxed{5}$.

▶ 2. Le nombre choisi au départ est – 10, alors on lui ajoute 7 et on trouve – 3.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient (– 10 – 7) soit – 17.

On multiplie les deux résultats précédents et on obtient 51.

Enfin on ajoute 50 à 51 et on trouve $\boxed{101}$.

▶ 3. Pour résumer, si on choisit 2, le programme donne 5.

Si on choisit 2, la technique de l’élève donne 5.

Si on choisit – 10, le programme donne 101.

Si on choisit – 10, la technique de l’élève donne – 19.

L’élève a donc tort.

▶ 4. Si le nombre choisi au départ est x, alors on lui ajoute 7 et on trouve x + 7.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient x – 7.

On multiplie entre eux les deux résultats précédents et on obtient (x + 7) × (x – 7) c’est-à-dire x² – 49.

Enfin on ajoute 50 et on obtient x² + 1.

Conclusion : le résultat du programme de calcul est $\boxed{x^2+1}$.

▶ 5. Pour obtenir 17 comme résultat, il faut que x² + 1 = 17, soit x² – 16 = 0.

Utilisons l’identité remarquable a² – b² = (a + b) × (a – b).

Nous savons que x² – 16 = x² – 4² = (x + 4) × (x – 4) = 0.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un des facteurs au moins est nul :

x + 4 = 0 soit x = – 4 ou x – 4 = 0 soit x = 4.

L’équation admet deux solutions 4 et – 4.