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Quelle taille pour les mailles d'un tamis ?

Sujet spécimen 2021 n° 2 • exercice 3

Quelle taille pour les mailles d'un tamis ?

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Sélectionner des petits crustacés pour nourrir des poissons nécessite des tamis de petites tailles. Comment l'aspect ondulatoire de la lumière peut-il nous venir en aide ?

 

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Ph © Minden / hemis.fr

Les artémies sont des crustacés élevés pour nourrir les poissons des aquariums. Leur taille doit être adaptée à l'espèce de poisson à nourrir. On utilise des tamis calibrés pour les sélectionner.

On se propose ici de déterminer la taille des mailles d'un tamis en utilisant une diode laser de longueur d'onde λ = (650 ± 10) nm.

Partie 1. Vérification de la valeur de la longueur d'onde de la diode laser utilisée 20 min

Pour vérifier la valeur de la longueur d'onde de la diode laser annoncée par le constructeur, on réalise une expérience dont le schéma est donné ci-dessous (figure 1). L'échelle n'est pas respectée.

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▶ 1. Nommer le phénomène physique responsable des taches lumineuses observées sur l'écran. Discuter qualitativement de l'influence de la largeur de la fente et de la longueur d'onde de l'onde incidente sur le phénomène observé. (0,5 point)

▶ 2. On rappelle que l'angle θ est donné par la relation θ = λa et on considère que tan θ ≈ θ pour les petits angles (θ  1 rad). Déterminer l'expression de l'angle θ en fonction de la largeur L de la tache centrale et de D. En déduire l'expression de la longueur d'onde λ en fonction de L, a et D. (1 point)

Pour faire une mesure précise, on remplace l'écran par une caméra qui permet d'obtenir l'intensité lumineuse relative* en fonction de la position x, repérée selon l'axe indiqué sur la photo de la figure 2. L'origine = 0 m est prise sur le bord du capteur de la caméra.

On obtient alors la figure 3.

* L'intensité lumineuse relative est le rapport de l'intensité lumineuse reçue par le capteur sur l'intensité maximale reçue.

▶ 3. Déterminer la valeur de la longueur d'onde de la diode laser utilisée en exploitant la courbe obtenue sur la figure 3. La comparer à la valeur indiquée par le constructeur. (0,5 point)

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Figure 3. Intensité lumineuse relative en fonction de la position sur l'écran

Partie 2. Calibrage du tamis de récupération 30 min

Le but de cette partie est de vérifier que le tamis disponible, dont le maillage est représenté sur la figure 5, permet de récupérer toutes les artémies d'une taille supérieure à 150 µm.

On réalise une expérience d'interférences pour évaluer les dimensions du tamis en utilisant la diode laser précédente. La largeur du fil plastique constituant le tamis est égale à 230 µm.

L'expérience d'interférences est décrite ci-dessous.

Le montage utilisé est donné sur la figure 4.

On utilise la diode laser de longueur d'onde λ = (650 ± 10) nm.

La distance entre le tamis et l'écran vaut D = (7,75 ± 0,03) m.

On note b la distance entre les centres de deux trous consécutifs du maillage du tamis .

La figure d'interférences obtenue est donnée sur les figures 6 et 7.

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Doc. educscol.fr

Figure 6. Figure d'interférences obtenue

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Doc. educscol.fr

Figure 7. Tache centrale de la figure d'interférences à l'échelle 1/1

▶ 1. Expliquer brièvement, sans calcul, l'origine de la présence de zones sombres et de zones brillantes dans une figure d'interférences lumineuses. (0,5 point)

Le centre de la figure d'interférences de la figure 6 est représenté sur la figure 7 ci-avant à l'échelle 1/1. L'interfrange, noté i, est défini comme la distance entre les centres de deux taches lumineuses successives selon l'axe identifié sur la figure 7.

L'expression de l'interfrange est donnée par la relation : λ×Db.

L'incertitude-type u(b) sur la grandeur b peut se calculer à partir de la relation :

u(b)b=u(D)D2+u(i)i2+u(λ)λ2

u(x) désigne l'incertitude-type associée à la grandeur x.

▶ 2. Évaluer la valeur de l'interfrange i en explicitant la méthode suivie pour obtenir la meilleure précision. Évaluer l'incertitude-type u(i) sur la mesure de l'interfrange i. (0,75 point)

▶ 3. Calculer b puis évaluer u(b). (1 point)

▶ 4. Indiquer si le tamis étudié permet de récupérer les artémies voulues. Justifier. (0,75 point)

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Vérification de la valeur de la longueur d'onde de la diode laser; ▶ 2. Utilisez la figure 1, repérez un triangle rectangle et utilisez une relation de trigonométrie.▶ 3. Souvenez-vous que la tache centrale de diffraction est la tache la plus lumineuse et que sa largeur est L.; Ligne 2 : Partie 2. Calibrage du tamis de récupération; ▶ 1. Souvenez-vous des conditions d'interférences.▶ 2. Mesurez, sur la figure 7, la distance correspondant à plusieurs interfranges.▶ 4. Relisez l'introduction de la partie 2 et faites un schéma à partir de ces informations.;

Partie 1. Vérification de la valeur de la longueur d'onde de la diode laser utilisée

 1. Nommer un phénomène physique et étudier qualitativement des paramètres

Le phénomène physique responsable des taches lumineuses observées est le phénomène de diffraction d'une onde lumineuse par une fente.

Dans ce qui suit, on fixe la distance fente-écran.

Pour une longueur d'onde donnée, plus la largeur de la fente est petite, plus les taches lumineuses observées sont larges et donc, plus ce phénomène de diffraction est marqué. D'autre part, pour une largeur de fente donnée, plus la longueur d'onde est grande, plus ce phénomène de diffraction est marqué.

 2. Déterminer l'expression de l'angle caractéristique de diffraction

à noter

Cette démonstration classique est à savoir refaire pour gagner des points !

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Dans le triangle ABC, rectangle en B, on peut écrire, d'après les relations de trigonométrie :

tanθ=ABBC=L2D soit tanθ= L2D

Comme θ est petit, on utilise l'approximation tan θ ≈ θ, d'où θ=L2D.

D'autre part, cet angle s'exprime aussi par l'expression : θ=λa.

On peut alors écrire l'égalité suivante : L2D=λa. On en déduit que la longueur d'onde λ est donnée par la relation : λ=L×a2D.

 3. Déterminer la valeur de la longueur d'onde utilisée

On utilise la figure 3 pour déterminer la valeur de la largeur L de la tache centrale de diffraction.

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Par lecture graphique, on a : L = 18,0 – 9,0 = 9,0 mm = 9,0 × 10–3 m.

Ainsi, on calcule :

λ = 9,0×103×80×1062×56×102 = 6,4 × 10–7 m = 6,4 × 102 nm.

D'après l'énoncé, le constructeur indique que la longueur d'onde de la diode laser est comprise entre 640 et 660 nm. La valeur obtenue précédemment est donc bien conforme à l'indication du constructeur.

Partie 2. Calibrage du tamis de récupération

 1. Expliquer qualitativement la figure d'interférences

La figure d'interférences est constituée :

de zones sombres dues à des interférences destructives d'ondes lumineuses arrivant en opposition de phase en ce point de l'écran,

de zones brillantes dues à des interférences constructives d'ondes lumineuses arrivant en phase en ce point de l'écran.

 2. Déterminer la valeur de l'interfrange i

On utilise la figure 7 pour déterminer la valeur de l'interfrange i.

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Doc. educscol.fr

à noter

Pour être le plus précis possible, il faut penser à mesurer une distance d correspondant à plusieurs interfranges i en prenant le centre des points lumineux.

Ainsi, d'après la figure 7, on mesure : d = 4 × i = 6,0 cm.

Ainsi, i = 6,04 d'où i = 1,5 cm.

En mesurant avec la règle graduée au millimètre, on peut évaluer que l'incertitude-type u(d) est égale à : u(d) = 2 mm.

Ainsi, comme i = d4, l'incertitude-type u(i) est égale à : u(i= u(d)4 = 0,5 mm.

3. Calculer la distance entre deux trous consécutifs du maillage du tamis et son incertitude-type

On sait que l'interfrange i est donnée par la relation : i = λ×Db.

On en déduit que la distance entre les centres de deux trous consécutifs du maillage du tamis est : b = λ×Di.

Donc, on a : b = 650×109×7,751,5×102 = 3,4 × 10–4 m = 3,4 × 102 µm.

L'incertitude-type u(b) sur la grandeur b est donnée par :

u(b)=b×u(D)D2+u(i)i2+u(λ)λ2

avec b = 3,4 × 102 µm, λ = 650 nm et u(λ) = 10 nm, = 1,5 cm = 15 mm et u(i) = 0,5 mm, D = 7,75 m et u(D) = 0,03 m. On a donc :

u(b)=3,4×102×0,037,752+0,5152+106502=13 μm.

En arrondissant par excès et en ne gardant qu'un seul chiffre significatif : u(b= 2 × 101 µm.

Ainsi, la distance cherchée est égale à : b±u(b)=(340±20) μm.

 4. Conclure sur l'adaptation du tamis à la situation

à noter

Faites un schéma simplifié pour visualiser le problème.

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Il faut déterminer la largeur d = 2x de la maille du tamis. D'après le schéma ci-dessus, on peut écrire : b = x + 230 + x d'où b = 230 + 2x.

Ainsi, 2x = b – 230 donc d = b – 230.

Finalement : d = 340 – 230 = 110 µm.

Si on calcule la diagonale X d'une maille de côté d, on a X2 = d2 + d2 d'où X = d × 2 = 110 × 2 = 156 µm.

La maille carrée du tamis mesure donc 110 µm de côté et 156 µm en diagonale.

L'énoncé indique que l'on souhaite récupérer les artémies d'une taille supérieure à 150 µm. Si l'artémie mesure plus de 156 µm, on pourra la récupérer grâce à ce tamis. Si elle mesure moins de 156 µm, elle passera à travers.

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