Partie 1. Vérification de la valeur de la longueur d'onde de la diode laser utilisée

▶ 1. Nommer un phénomène physique et étudier qualitativement des paramètres

Le phénomène physique responsable des taches lumineuses observées est le phénomène de diffraction d'une onde lumineuse par une fente.

Dans ce qui suit, on fixe la distance fente-écran.

Pour une longueur d'onde donnée, plus la largeur de la fente est petite, plus les taches lumineuses observées sont larges et donc, plus ce phénomène de diffraction est marqué. D'autre part, pour une largeur de fente donnée, plus la longueur d'onde est grande, plus ce phénomène de diffraction est marqué.

▶ 2. Déterminer l'expression de l'angle caractéristique de diffraction

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on peut écrire, d'après les relations de trigonométrie :

$\tan \text{θ}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\frac{L}{2}}{D}$ soit $\tan \text{θ}=\frac{L}{2D}$

Comme θ est petit, on utilise l'approximation tan θ ≈ θ, d'où $\text{θ}=\frac{L}{2D}$.

D'autre part, cet angle s'exprime aussi par l'expression : $\text{θ}=\frac{\text{λ}}{a}$.

On peut alors écrire l'égalité suivante : $\frac{L}{2D}=\frac{\text{λ}}{a}$. On en déduit que la longueur d'onde λ est donnée par la relation : $\text{λ}=\frac{L\times a}{2D}$.

▶ 3. Déterminer la valeur de la longueur d'onde utilisée

On utilise la figure 3 pour déterminer la valeur de la largeur L de la tache centrale de diffraction.

Par lecture graphique, on a : L = 18,0 – 9,0 = 9,0 mm = 9,0 × 10^–3 m.

Ainsi, on calcule :

λ = $\frac{\mathrm{9,0}\times {10}^{-3}\times 80\times {10}^{-6}}{2\times 56\times {10}^{-2}}$ = 6,4 × 10^–7 m = 6,4 × 10² nm.

D'après l'énoncé, le constructeur indique que la longueur d'onde de la diode laser est comprise entre 640 et 660 nm. La valeur obtenue précédemment est donc bien conforme à l'indication du constructeur.

Partie 2. Calibrage du tamis de récupération

▶ 1. Expliquer qualitativement la figure d'interférences

La figure d'interférences est constituée :

de zones sombres dues à des interférences destructives d'ondes lumineuses arrivant en opposition de phase en ce point de l'écran,

de zones brillantes dues à des interférences constructives d'ondes lumineuses arrivant en phase en ce point de l'écran.

▶ 2. Déterminer la valeur de l'interfrange i

On utilise la figure 7 pour déterminer la valeur de l'interfrange i.

Ainsi, d'après la figure 7, on mesure : d = 4 × i = 6,0 cm.

Ainsi, i = $\frac{\mathrm{6,0}}{4}$ d'où i = 1,5 cm.

En mesurant avec la règle graduée au millimètre, on peut évaluer que l'incertitude-type u(d) est égale à : u(d) = 2 mm.

Ainsi, comme i = $\frac{d}{4}$, l'incertitude-type u(i) est égale à : u(i) = $\frac{u(d)}{4}$ = 0,5 mm.

▶ 3. Calculer la distance entre deux trous consécutifs du maillage du tamis et son incertitude-type

On sait que l'interfrange i est donnée par la relation : i = $\frac{\text{λ}\times D}{b}$.

On en déduit que la distance entre les centres de deux trous consécutifs du maillage du tamis est : b = $\frac{\text{λ}\times D}{i}$.

Donc, on a : b = $\frac{650\times {10}^{-9}\times \mathrm{7,75}}{\mathrm{1,5}\times {10}^{-2}}$ = 3,4 × 10^–4 m = 3,4 × 10² µm.

L'incertitude-type u(b) sur la grandeur b est donnée par :

$u(b)=b\times \sqrt[]{{\left(\frac{u(D)}{D}\right)}^2+{\left(\frac{u(i)}{i}\right)}^2+{\left(\frac{u(\text{λ})}{\text{λ}}\right)}^2}$

avec b = 3,4 × 10² µm, λ = 650 nm et u(λ) = 10 nm, i = 1,5 cm = 15 mm et u(i) = 0,5 mm, D = 7,75 m et u(D) = 0,03 m. On a donc :

$u(b)=\mathrm{3,4}\times {10}^2\times \sqrt[]{{\left(\frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{7,75}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{0,5}}{15}\right)}^2+{\left(\frac{10}{650}\right)}^2}=\text{13 }\text{μ}\text{m}.$

En arrondissant par excès et en ne gardant qu'un seul chiffre significatif : u(b) = 2 × 10¹ µm.

Ainsi, la distance cherchée est égale à : $b\pm u(b)=(\text{340}\pm 20)\text{μ}\text{m}$.

▶ 4. Conclure sur l'adaptation du tamis à la situation

Il faut déterminer la largeur d = 2x de la maille du tamis. D'après le schéma ci-dessus, on peut écrire : b = x + 230 + x d'où b = 230 + 2x.

Ainsi, 2x = b – 230 donc d = b – 230.

Finalement : d = 340 – 230 = 110 µm.

Si on calcule la diagonale X d'une maille de côté d, on a X² = d² + d² d'où X = d × $\sqrt[]{2}$ = 110 × $\sqrt[]{2}$ = 156 µm.

La maille carrée du tamis mesure donc 110 µm de côté et 156 µm en diagonale.

L'énoncé indique que l'on souhaite récupérer les artémies d'une taille supérieure à 150 µm. Si l'artémie mesure plus de 156 µm, on pourra la récupérer grâce à ce tamis. Si elle mesure moins de 156 µm, elle passera à travers.