Annale corrigée Exercice

Quelques applications de la diffraction

Ondes et signaux

Quelques applications de la diffraction

1 heure

6 points

Intérêt du sujet • Le phénomène de diffraction permet de déterminer la longueur d'onde d'une radiation ou encore de réaliser le spectre d'émission d'une étoile et de déterminer l'approche ou l'éloignement d'une étoile, en utilisant l'effet Doppler.

 

La diffraction est un phénomène ondulatoire qui met en jeu la lumière lorsque celle-ci rencontre des obstacles ou des ouvertures dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur de sa longueur d'onde.

En laboratoire, l'exploitation de ce phénomène permet de déterminer la longueur d'onde d'une radiation. Il est aussi utilisé dans des dispositifs permettant de réaliser des spectres d'émission de lumière stellaire : les réseaux de diffraction. Grâce à ces spectres, notamment celui de l'hydrogène, on peut calculer la vitesse d'éloignement d'une galaxie.

Partie 1. Détermination de la longueur d'onde d'une radiation

Pour une onde lumineuse monochromatique, telle que celle produite par un laser, traversant une fente fine, on observe sur un écran une série de taches lumineuses entrecoupées d'extinction : c'est la figure de diffraction de l'onde à travers la fente.

PCHt_2000_00_16C_01

On note L la largeur de la tache centrale, D la distance entre la fente et l'écran, a la largeur de la fente.

1. Donner l'expression de l'écart angulaire θ en fonction de la longueur d'onde de la radiation λ et de a.

2. Exprimer l'écart angulaire θ en fonction de D et de L.

3. Identifier les deux expressions de l'écart angulaire et isoler la longueur d'onde.

4. Calculer la longueur d'onde en mètre sachant que D = 1,00 m, L = 4,30 cm, et a = 32,5 μm.

5. Une photographie de la figure de diffraction a été prise lorsque l'on remplace la fente de largeur a par deux fentes séparées d'une distance b.

PCHt_2000_00_16C_02

a) Quel phénomène ondulatoire est ici mis en évidence ?

b) Exprimer l'interfrange i en fonction de λ, D et b.

c) Calculer l'interfrange en mètre sachant que b = 4,22 × 10–4 m.

Partie 2. Étude d'un réseau de diffraction

Pour obtenir le spectre de la lumière d'une étoile, on utilise des réseaux de diffraction qui ont été mis au point par Joseph Fraunhofer en 1821.

Ces dispositifs sont constitués d'un très grand nombre de traits fins qui sont parallèles et distants entre eux d'une même distance a.

PCHt_2000_00_16C_03

La distance a est appelée « pas du réseau » et s'exprime en millimètre ; la grandeur 1/a correspond au nombre de traits par millimètre.

À la traversée du réseau la lumière est diffractée par chaque trait et, pour une radiation de longueur d'onde λ (exprimée en mètre), on observe un maximum de lumière pour un angle α défini par la relation : sin(α) = p×λap est un nombre entier positif ou négatif, appelé « ordre du spectre ».

PCHt_2000_00_16C_04

1. Qu'observe-t-on pour les radiations à l'ordre p = 0 ?

2. Donner l'expression de sin(α) à l'ordre p = 1 et expliquer pourquoi le réseau peut décomposer la lumière.

3. Entre une radiation rouge et une radiation bleue, quelle est celle qui est la plus déviée par le réseau ? Justifier la réponse.

4. On obtient, grâce à un télescope muni d'un réseau de diffraction, les spectres de l'hydrogène de deux étoiles notées A et B.

On peut comparer ces deux spectres à celui de l'hydrogène obtenu dans un laboratoire :

PCHt_2000_00_16C_05

a) Rappeler l'expression de la célérité c d'une onde électromagnétique en fonction de sa fréquence ν et de sa longueur d'onde λ.

b) Comment évolue la longueur d'onde de la radiation lorsque sa fréquence augmente ?

c) D'après la question précédente, pour quelle étoile les fréquences des radiations émises par l'hydrogène sont supérieures à celles enregistrées sur Terre ?

5. L'effet Doppler est important en astronomie car il permet d'obtenir des renseignements sur les mouvements des étoiles au sein de notre galaxie. On a ainsi pu montrer la structure spirale de la Voie Lactée.

Dans les mesures faites sur les étoiles A et B, comment l'effet Doppler permet-il de savoir quelle étoile se rapproche de notre système solaire et laquelle s'en éloigne ?

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

PCHt_2000_00_16C_06

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Détermination de la longueur d'onde d'une radiation; ▶ 2. Dans le triangle rectangle où θ est un des angles, appliquez la formule de la tangente : tan(θ)=côté opposécôté adjacent puis utilisez l'approximation θ≈tan(θ), valable dans le cas des petits angles.▶ 5. c) Pensez à convertir toutes les longueurs en mètre pour calculer l'interfrange. Les conversions suivantes doivent être connues : 1 μm = 1 × 10–6 m et 1 cm = 1 × 10–2 m; Ligne 2 : Partie 2. Étude d'un réseau de diffraction; ▶ 1. Une onde n'est pas diffractée si l'écart angulaire est égal à 0° car, dans ce cas, elle n'est pas déviée.▶ 3. Une radiation est d'autant plus déviée que l'angle α associé est grand.▶ 5. Le décalage d'une longueur d'onde dans le spectre d'émission permet, en fonction du sens du décalage, de savoir si la source de lumière se rapproche ou s'éloigne.;

Partie 1. Détermination de la longueur d'onde d'une radiation

1. Donner l'expression de l'écart angulaire en fonction de la longueur d'onde et de la largeur de fente

D'après le cours, l'écart angulaire est θ=λa avec θ en radians, λ et a en mètres.

2. Exprimer l'écart angulaire à partir des paramètres de l'expérience

On applique la définition de la tangente dans le triangle rectangle suivant :

PCHt_2000_00_16C_07

tan(θ)=côté opposécôté adjacent=L/2D=L2×D.

Ici, θtan(θ) car l'angle est petit, donc θ=L2×D.

3. Exprimer la longueur d'onde de la radiation

On identifie les expressions de l'écart angulaire établies dans les deux questions précédentes : θ=L2×D=λa donc λ=L×a2×D.

à noter

Pour le calcul de l'interfrange, toutes les longueurs doivent être dans la même unité (ici, le mètre).

4. Calculer la longueur d'onde de la radiation

On fait l'application numérique de l'expression précédente après avoir fait les conversions d'unité adéquates :

λ=L×a2×D=4,30×102×32,5×1062×1,00=6,99×107 m.

5. a) Identifier un phénomène ondulatoire

Ce qui est ici mis en évidence est le phénomène des interférences lumineuses.

b) Donner l'expression de l'interfrange

L'expression de l'interfrange est la suivante : i=λ×Db.

c) Calculer l'interfrange

On fait l'application numérique de l'expression précédente :

i=λ×Db=6,99×107×1,004,22×104 = 1,66 × 10–3 m.

Partie 2. Étude d'un réseau de diffraction

1. Identifier la diffraction d'une onde

Pour les radiations à l'ordre p = 0, on observe que sin(α) = 0 donc α = 0° quelle que soit la longueur d'onde de la radiation.

Toutes les radiations émises par l'étoile se superposent ce qui donne une lumière dont la couleur est celle de l'étoile. La direction de propagation des ondes lumineuses n'est pas modifiée : il n'y a pas de diffraction à l'ordre 0.

2. Montrer la décomposition de la lumière

À l'ordre p = 1 : sin(α) = 1×λa=λa.

L'angle α dépend donc de la longueur d'onde, ce qui signifie que chaque radiation sera diffractée différemment selon sa longueur d'onde. Ainsi, la lumière blanche est décomposée par le réseau car chaque radiation a une direction de propagation différente après le réseau.

à noter

Les longueurs d'onde dans le vide des radiations lumineuses visibles sont comprises­ entre 400 nm et 800 nm : 400 nm correspond à des radiations bleues et 800 nm à des radiations rouges.

3. Identifier la radiation la plus déviée

La longueur d'onde d'une radiation bleue étant inférieure à celle d'une radiation rouge, on en déduit que la radiation rouge est plus déviée que la radiation bleue car λrouge > λbleu, ce qui implique que sin(αrouge) > sin(αbleu) et donc αrouge > αbleu.

4. a) Donner la formule de la célérité liant longueur d'onde et fréquence

La formule est la suivante : c = λ × v avec c en mètres par seconde, λ en mètres et ν en hertz.

b) Déterminer l'évolution de la longueur d'onde en fonction de la fréquence

La formule c = λ × ν traduit que la fréquence et la longueur d'onde sont inversement proportionnelles. La célérité c étant constante, si la fréquence v augmente, la longueur d'onde λ diminue.

c) Déterminer la relation d'ordre entre les fréquences

En prenant comme référence la raie d'émission rouge des spectres de l'étoile A et de l'hydrogène dans un laboratoire, on observe :

λrouge, étoile A > λrouge, laboratoire ce qui implique νrouge, étoile A rouge, laboratoire

En prenant comme référence la raie d'émission rouge des spectres de l'étoile B et de l'hydrogène dans un laboratoire on observe :

λrouge, étoile B rouge, laboratoire ce qui implique vrouge, étoile B > vrouge, laboratoire.

5. Appliquer l'effet Doppler pour caractériser un déplacement

D'après l'effet Doppler, la fréquence des radiations reçues est supérieure à celle des mêmes radiations en laboratoire lorsque l'objet se rapproche (et inférieure lorsqu'il s'éloigne).

La fréquence et la longueur d'onde étant inversement proportionnelles, on en déduit que l'étoile A s'éloigne de nous et que l'étoile B se rapproche de nous.

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