France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1

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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1 Exercice 3

Questions posées dans la FAQ d’une entreprise

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • On modélise par des suites l’évolution du nombre de questions présentes dans la FAQ d’un site internet. Dans la dernière partie, deux questions permettent de comparer certains aspects des deux modélisations envisagées.

Une entreprise a créé une foire aux questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A • première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;

130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite $(u_{n})$ définie par :

u₁ = 3 et, pour tout entier naturel n ≥ 1, u_n₊₁ = 0,9u_n + 1,3.

▶ 1. Calculer u₂ et u₃ et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.

▶ 2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$u_{n} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n}$ .

▶ 3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est croissante.

▶ 4. On considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.

Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

Partie B • une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par :

$v_{n} = 9 - 6 \times e^{- 0,19 \times (n - 1)}$ .

Le terme v_n est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le n-ième mois sur la FAQ.

▶ 1. Préciser les valeurs arrondies au centième de v₁ et v₂.

▶ 2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de n telle que v_n > 8,5.

Partie C • comparaison des deux modèles

▶ 1. L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse.

▶ 2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 3. Étudiez le signe de u_n₊₁ - u_n.

Partie C

▶ 1. et 2. Utilisez les résultats obtenus dans la partie A et la partie B.

Partie A • Première modélisation

▶ 1. Calculer et interpréter les premiers termes d’une suite

u₂ = 0,9u₁ + 1,3 = 0,9 × 3 + 1,3, donc $u_{2} = 4$ .

u₃ = 0,9u₂ + 1,3 = 0,9 × 4 + 1,3, donc $u_{3} = 4,9$ .

400 questions seront présentes sur la FAQ le deuxième mois, 490 le troisième mois.

▶ 2. Établir par récurrence l’expression du terme général d’une suite

Initialisation

$13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{1} = 13 - 10 = 3$ et u₁ = 3, donc $u_{1} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{1}$ .

L’égalité est vraie pour n = 1.

Hérédité

Soit n un entier naturel non nul tel que $u_{n} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n}$ .

Montrons qu’alors $u_{n + 1} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n + 1}$ .

mot clé

Cette égalité est l’hypothèse de récurrence.

u_n₊₁ = 0,9u_n + 1,3, donc, d’après l’hypothèse de récurrence :

$u_{n + 1} = 0,9 (13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n}) + 1,3$

$u_{n + 1} = 0,9 \times 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n + 1} + 1,3$

$u_{n + 1} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n + 1}$ .

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n : elle est héréditaire.

Conclusion

On en déduit que, pour tout entier naturel non nul $n$ , $u_{n} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n}$ .

▶ 3. Montrer qu’une suite est croissante

Pour tout entier naturel non nul n :

$u_{n + 1} - u_{n} = 13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n + 1} - (13 - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n})$

$= \frac{100}{9} \times {0,9}^{n} - \frac{100}{9} \times {0,9}^{n + 1}$

$= \frac{100}{9} \times {0,9}^{n} (1 - 0,9)$

$= \frac{100}{9} \times {0,9}^{n} \times 0,1$ .

Donc u_n₊₁ - u_n ≥ 0 pour tout entier naturel non nul n.

La suite $(u_{n})$ est croissante.

▶ 4. Déterminer et interpréter la valeur renvoyée par un programme écrit en langage Python

Dans le programme donné, la variable u prend comme valeurs successives les premiers termes de la suite (u_n). Comme la suite u_n est croissante, le programme renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > p$ .

En exécutant ce programme ou en dressant, à l’aide de la calculatrice, un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite, ou encore en résolvant une inéquation, on obtient que le plus petit entier naturel non nul n tel que u_n > 8,5 est 9.

à noter

On peut vérifier à l’aide de la calculatrice que u₈ < 8,5 et u₉ > 8,5.

La valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) est 9.

Cela signifie que c’est au bout de 9 mois que le nombre de questions présentes sur la FAQ dépassera pour la première fois 850 questions.

Partie B • Une autre modélisation

▶ 1. Calculer des valeurs approchées de deux termes d’une suite

$v_{1} = 9 - 6 \times e^{0} = 9 - 6$ , soit $v_{1} = 3$ .

$v_{2} = 9 - 6 \times e^{- 0,19}$ , soit $v_{2} \approx 4,04$ .

▶ 2. Déterminer un entier n vérifiant une condition donnée

$v_{n} > 8,5 \Leftrightarrow 9 - 6 \times e^{- 0,19 \times (n - 1)} > 8,5$ .

Cette inégalité équivaut successivement à :

$6 \times e^{- 0,19 \times (n - 1)} < 0,5$

$e^{- 0,19 \times (n - 1)} < \frac{1}{12}$

$- 0,19 \times (n - 1) < - \ln (12)$

car la fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞[ et que, pour tout réel a > 0, $\ln (\frac{1}{a}) = - \ln (a)$ .

Donc v_n > 8,5 équivaut à $n - 1 > \frac{\ln (12)}{0,19}$ (on divise les deux membres de l’inégalité par - 0,19 qui est strictement négatif).

Finalement, v_n > 8,5 équivaut à :

$n > \frac{\ln (12)}{0,19} + 1$

Or, $\frac{\ln (12)}{0,19} + 1 \approx 14,08$ et n est entier, donc v_n > 8,5 équivaut à n ≥ 15. La plus petite valeur de n telle que v_n > 8,5 est donc $n = 15$ .

Partie C • Comparaison des deux modèles

▶ 1. Choisir entre deux modèles pour déterminer le moment où un site internet doit être modifié

Il y a plus de 850 questions sur la FAQ si u_n > 8,5 selon le premier modèle, si v_n > 8,5 selon le deuxième modèle.

Or, d’après les résultats obtenus aux parties A et B :

u_n > 8,5 ⇔ n ≥ 9 et v_n > 8,5 ⇔ n ≥ 15.

Selon le premier modèle, la modification doit intervenir au bout de 9 mois, selon le deuxième modèle au bout de 15 mois.

C’est donc le premier modèle qui conduit à procéder le plus tôt à la modification.

▶ 2. Choisir entre deux modèles pour la valeur à long terme d’une grandeur

On cherche les limites des suites (u_n) et (v_n).

$\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ car - 1 < 0,9 < 1, donc par opérations :

$\lim_{n \to + ∞} u_{n} = 13$ .

$\lim_{n \to + ∞} - 0,19 (n - 1) = - ∞$ et $\lim_{X \to - ∞} e^{X} = 0$ , donc par composée, $lim_{n \to + ∞} e^{- 0,19 \times (n - 1)} = 0$ et par opérations :

$lim_{n \to + ∞} v_{n} = 9$ .

À long terme, le premier modèle prévoit 1 300 questions sur la FAQ, le second modèle en prévoit 900 ; c’est donc le premier modèle qui prévoit le plus de questions sur la FAQ à long terme.

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