Annale corrigée Exercice

Rallye VTT

France métropolitaine • Septembre 2019

Rallye VTT

Exercice 1

15 min

18 points

Michel participe à un rallye VTT sur un parcours balisé. Le trajet est représenté en traits pleins.

Le départ du rallye est en A et l'arrivée est en G.

mat3_1909_07_03C_01

Le dessin n'est pas à l'échelle.

Les points A, B et C sont alignés.

Les points C, D et E sont alignés.

Les points B, D et F sont alignés.

Les points E, F et G sont alignés.

Le triangle BCD est rectangle en C.

Le triangle DEF est rectangle en E.

1. Montrer que la longueur BD est égale à 2,5 km.

2. Justifier que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

3. Calculer la longueur DF.

4. Calculer la longueur totale du parcours.

5. Michel roule à une vitesse moyenne de 16 km/h pour aller du point A au point B.

Combien de temps mettra-t-il pour aller du point A au point B ?

Donner votre réponse en minutes et secondes.

 

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Un rallye VTT, Vélo Tout Terrain, est une épreuve sportive complète. Il met en lumière, entre autres, les qualités d'adaptation que tout participant doit acquérir ou développer.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Connaître le théorème de Pythagore; Applique le théorème de Pythagore au triangle BCD rectangle en C.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser une des conditions de parallélisme de deux droites; Applique le théorème : « deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles ».; Ligne 3 : ▶ 3. Appliquer le théorème de Thalès; Applique le théorème de Thalès en indiquant ses conditions d'application.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer avec des grandeurs mesurables; Ajoute bien toutes les distances parcourues.Calcule P = AB + BD + DF + FG.; Ligne 5 : ▶ 5. Convertir des durées; Utilise la relation d = v × t où d représente la distance parcourue, t le temps mis pour la parcourir et v la vitesse moyenne réalisée.;

1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle BCD rectangle en C :

BD² = CD² + CB² = 2² + 1,5² = 6,25.

BD=6,25=2,5 km.

2. Les triangles BCD et DEF sont rectangles respectivement en C et E. Les droites (BC) et (EF) sont donc perpendiculaires à la droite (CE).

Les droites (BC) et (EF) sont donc parallèles entre elles.

3. Les points D, B, F sont alignés dans le même ordre que les points D, C, E. De plus les droites (BC) et (EF) sont parallèles, donc nous pouvons appliquer le théorème de Thalès :

DBDF=DCDE

soit 2,5DF = 25, d'où, en utilisant « le produit en croix » :

DF=5×2,52

DF=6,25 km.

4. Notons P la longueur totale du parcours.

P = AB + BD + DF + FG

P = 7 + 2,5 + 6,25 + 3,5

P=19,25 km.

conseil

Utilise la division euclidienne : D = d × qr.

D est le dividende, d est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

5. Si d représente la distance parcourue, t le temps mis pour la parcourir et v la vitesse moyenne réalisée, alors d = v × t soit t=dv.

Or d = 7 km et v = 16 km/h, donc t = 716 h.

D'où t = 716 × 3 600 s = 1 575 s.

Or 1 575 = 60 × 26 + 15, donc 1 575 s = 26 min 15 s.

Conclusion : pour aller de A à B, Michel mettra 26 min et 15 s.

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