Annale corrigée Exercice Ancien programme

Réalisation d'un massif floral

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 1 • 4 points • 45 min

Réalisation d'un massif floral

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Continuité • Calcul intégral

 

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0  +[ par :

f(x= xex - 0,1.

1. Déterminer la limite de f en +.

2. Étudier les variations de f sur [0  +[ et dresser le tableau de variations.

3. Démontrer que l'équation f(x= 0 admet une unique solution notée α sur l'intervalle [0  1].

On admet l'existence du nombre réel strictement positif β tels que α  β et f(β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [α  β] dans un repère orthogonal et C la courbe symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.

L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

matT_1611_11_01C_01

4. Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle [α  β] par :

F(x= - (x + 1)ex - 0,1x

est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [α  β].

5. Calculer, en unités d'aire, la valeur arrondie à 0,01 près de l'aire du domaine compris entre les courbes C et C.

On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α 0,112 et β  3,577.

6. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants nécessaires à la réalisation de ce massif.

Les clés du sujet

5. Exploitez la symétrie indiquée dans l'énoncé pour vous ramener au calcul de l'aire sous la courbe sur l'intervalle proposé.

Corrigé

1. Déterminer une limite  E5a • E8c 

Par croissances comparées, limx+xex=0.

Par somme, nous obtenons limx+f(x)=0,1.

2. Étudier les variations d'une fonction  E6c • E6e • E6f 

À retenir

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu.

f est dérivable sur [0+[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur [0+[.

Pour tout réel x[0+[, f(x)=1×ex+x×(ex)=(1x)ex. Comme ex>0, le signe de f(x) est donc celui de 1x. Or 1x>0x1. On en déduit le tableau suivant :

matT_1611_11_01C_tab1

3. Démontrer qu'une équation a une solution unique sur un intervalle  E7c 

D'après le tableau de variations dressé à la question précédente, la fonction f est continue et strictement croissante sur [0  1].

De plus f(0)=0,10 et f(1)=e10,10,268>0. Donc 0 est compris entre f(0) et f(1). Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution notée α sur l'intervalle [0  1].

4. Identifier une primitive  E6e • E6f • E8d • E11a 

F est dérivable sur [α  β] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [α  β].

Pour tout réel x de l'intervalle [αβ] :

F(x)=1×ex+[(x+1)]×(ex)0,1=ex+(x+1)ex0,1=xex0,1=f(x).

F est donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle [αβ].

5. Calculer une aire  E13 • E14 

D'après la question 3. et les indications de l'énoncé, la courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses respectives α et β. Comme les courbes et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, il suffit, pour calculer l'aire comprise entre ces deux courbes sur l'intervalle [αβ], de calculer l'aire sous la courbe sur ce même intervalle et de la multiplier par 2.

D'après le tableau de variations dressé à la question 2., la fonction f est continue sur [αβ].

La fonction f s'annule en α et est strictement croissante sur [α1], puis est strictement décroissante sur [1β] et s'annule en β : f est donc positive sur [αβ].

L'aire sous la courbe sur l'intervalle [αβ] est donc donnée, en unité(s) d'aire, par  : αβf(x)dx=[F(x)]αβ=F(β)F(α).

En prenant α0,112 et β3,577 dans l'expression précédente, nous obtenons : αβf(x)dx0,52.

Comme 0,52×21,04, l'aire du domaine compris entre les courbes et est donc d'environ 1,04 u. a.

6. Exploiter un calcul d'aire  E14 

D'après l'énoncé, l'unité sur chaque axe représente 5 mètres. Une unité d'aire est donc égale à 25 m2. L'aire du massif floral est donc d'environ 1,04×25=26 m2. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, il faudra donc 36×26=936 plants de tulipes pour la réalisation de ce massif.

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