Réalisation d'un massif floral

Corrigé

▶ 1. Déterminer une limite  E5a • E8c 

Par croissances comparées, limx→+∞xe−x=0.

Par somme, nous obtenons limx→+∞f(x)=−0,1.

▶ 2. Étudier les variations d'une fonction  E6c • E6e • E6f 

f est dérivable sur [0+∞[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur [0+∞[.

Pour tout réel x∈[0+∞[, f′(x)=1×e−x+x×(−e−x)=(1−x)e−x. Comme e−x>0, le signe de f′(x) est donc celui de 1−x. Or 1−x>0⇔x<mn>1</mn>. On en déduit le tableau suivant :

▶ 3. Démontrer qu'une équation a une solution unique sur un intervalle  E7c 

D'après le tableau de variations dressé à la question précédente, la fonction f est continue et strictement croissante sur [0  1].

De plus f(0)=−0,1<mn>0</mn> et f(1)=e−1−0,1≈0,268>0. Donc 0 est compris entre f(0) et f(1). Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution notée α sur l'intervalle [0  1].

▶ 4. Identifier une primitive  E6e • E6f • E8d • E11a 

F est dérivable sur [α  β] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [α  β].

Pour tout réel x de l'intervalle [αβ] :

F′(x)=−1×e−x+[−(x+1)]×(−e−x)−0,1=−e−x+(x+1)e−x−0,1=xe−x−0,1=f(x).

F est donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle [αβ].

▶ 5. Calculer une aire  E13 • E14 

D'après la question 3. et les indications de l'énoncé, la courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses respectives α et β. Comme les courbes et ′ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, il suffit, pour calculer l'aire comprise entre ces deux courbes sur l'intervalle [αβ], de calculer l'aire sous la courbe sur ce même intervalle et de la multiplier par 2.

D'après le tableau de variations dressé à la question 2., la fonction f est continue sur [αβ].

La fonction f s'annule en α et est strictement croissante sur [α1], puis est strictement décroissante sur [1β] et s'annule en β : f est donc positive sur [αβ].

L'aire sous la courbe sur l'intervalle [αβ] est donc donnée, en unité(s) d'aire, par  : ∫αβf(x)dx=[F(x)]αβ=F(β)−F(α).

En prenant α≈0,112 et β≈3,577 dans l'expression précédente, nous obtenons : ∫αβf(x)dx≈0,52.

Comme 0,52×2≈1,04, l'aire du domaine compris entre les courbes et ′ est donc d'environ 1,04 u. a.

▶ 6. Exploiter un calcul d'aire  E14 

D'après l'énoncé, l'unité sur chaque axe représente 5 mètres. Une unité d'aire est donc égale à 25 m2. L'aire du massif floral est donc d'environ 1,04×25=26 m2. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, il faudra donc 36×26=936 plants de tulipes pour la réalisation de ce massif.