Réalisation d’un massif floral

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 1 • 4 points • 45 min

Réalisation d’un massif floral

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Continuité • Calcul intégral

 

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +[ par :

f(x= xex - 0,1.

1. Déterminer la limite de f en +.

2. Étudier les variations de f sur [0 ; +[ et dresser le tableau de variations.

3. Démontrer que l’équation f(x= 0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1].

On admet l’existence du nombre réel strictement positif β tels que α < β et f(β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [α ; β] dans un repère orthogonal et C la courbe symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses.

L’unité sur chaque axe représente 5 mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

matT_1611_11_01C_01

4. Démontrer que la fonction F définie sur l’intervalle [α ; β] par :

F(x= - (x + 1)ex - 0,1x

est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [α ; β].

5. Calculer, en unités d’aire, la valeur arrondie à 0,01 près de l’aire du domaine compris entre les courbes C et C.

On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α 0,112 et β  3,577.

6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants nécessaires à la réalisation de ce massif.

Les clés du sujet

5. Exploitez la symétrie indiquée dans l’énoncé pour vous ramener au calcul de l’aire sous la courbe 𝒞 sur l’intervalle proposé.