Compléments sur les fonctions
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1611_11_01C
Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016
Exercice 1 • 4 points • ⏱ 45 min
Réalisation d'un massif floral
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Continuité • Calcul intégral
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 + ∞[ par :
f(x) = xe–x - 0,1.
▶ 1. Déterminer la limite de f en + ∞.
▶ 2. Étudier les variations de f sur [0 + ∞[ et dresser le tableau de variations.
▶ 3. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution notée α sur l'intervalle [0 1].
On admet l'existence du nombre réel strictement positif β tels que α β et f(β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [α β] dans un repère orthogonal et C′ la courbe symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.
L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.
Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.
▶ 4. Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle [α β] par :
F(x) = - (x + 1)e–x - 0,1x
est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [α β].
▶ 5. Calculer, en unités d'aire, la valeur arrondie à 0,01 près de l'aire du domaine compris entre les courbes C et C′.
On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α ≈ 0,112 et β ≈ 3,577.
▶ 6. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants nécessaires à la réalisation de ce massif.
Les clés du sujet
▶ 5. Exploitez la symétrie indiquée dans l'énoncé pour vous ramener au calcul de l'aire sous la courbe sur l'intervalle proposé.
Corrigé
▶ 1. Déterminer une limite E5a • E8c
Par croissances comparées, .
Par somme, nous obtenons .
▶ 2. Étudier les variations d'une fonction E6c • E6e • E6f
À retenir
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et .
f est dérivable sur comme produit et somme de fonctions dérivables sur .
Pour tout réel , . Comme , le signe de est donc celui de . Or . On en déduit le tableau suivant :
▶ 3. Démontrer qu'une équation a une solution unique sur un intervalle E7c
D'après le tableau de variations dressé à la question précédente, la fonction est continue et strictement croissante sur [0 1].
De plus et . Donc 0 est compris entre et . Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution notée sur l'intervalle [0 1].
▶ 4. Identifier une primitive E6e • E6f • E8d • E11a
F est dérivable sur [α β] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [α β].
Pour tout réel x de l'intervalle :
F est donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle .
▶ 5. Calculer une aire E13 • E14
D'après la question 3. et les indications de l'énoncé, la courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses respectives et . Comme les courbes et ′ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, il suffit, pour calculer l'aire comprise entre ces deux courbes sur l'intervalle , de calculer l'aire sous la courbe sur ce même intervalle et de la multiplier par 2.
D'après le tableau de variations dressé à la question 2., la fonction f est continue sur .
La fonction s'annule en et est strictement croissante sur , puis est strictement décroissante sur et s'annule en : f est donc positive sur .
L'aire sous la courbe sur l'intervalle est donc donnée, en unité(s) d'aire, par : .
En prenant et dans l'expression précédente, nous obtenons : .
Comme , l'aire du domaine compris entre les courbes et ′ est donc d'environ 1,04 u. a.
▶ 6. Exploiter un calcul d'aire E14
D'après l'énoncé, l'unité sur chaque axe représente 5 mètres. Une unité d'aire est donc égale à 25 m2. L'aire du massif floral est donc d'environ . Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, il faudra donc plants de tulipes pour la réalisation de ce massif.