Réalisation d’un massif floral

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 1 • 4 points • 45 min

Réalisation d’un massif floral

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Continuité • Calcul intégral

 

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +[ par :

f(x= xex - 0,1.

1. Déterminer la limite de f en +.

2. Étudier les variations de f sur [0 ; +[ et dresser le tableau de variations.

3. Démontrer que l’équation f(x= 0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1].

On admet l’existence du nombre réel strictement positif β tels que α < β et f(β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [α ; β] dans un repère orthogonal et C la courbe symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses.

L’unité sur chaque axe représente 5 mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

matT_1611_11_01C_01

4. Démontrer que la fonction F définie sur l’intervalle [α ; β] par :

F(x= - (x + 1)ex - 0,1x

est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [α ; β].

5. Calculer, en unités d’aire, la valeur arrondie à 0,01 près de l’aire du domaine compris entre les courbes C et C.

On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α 0,112 et β  3,577.

6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants nécessaires à la réalisation de ce massif.

Les clés du sujet

5. Exploitez la symétrie indiquée dans l’énoncé pour vous ramener au calcul de l’aire sous la courbe 𝒞 sur l’intervalle proposé.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer une limite  E5a • E8c 

Par croissances comparées, limx+xex=0.

Par somme, nous obtenons limx+f(x)=0,1.

2. Étudier les variations d’une fonction  E6c • E6e • E6f 

À retenir

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu.

f est dérivable sur [0;+[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur [0;+[.

Pour tout réel x[0;+[, f(x)=1×ex+x×(ex)=(1x)ex. Comme ex>0, le signe de f(x) est donc celui de 1x. Or 1x>0x<1. On en déduit le tableau suivant :

matT_1611_11_01C_tab1

3. Démontrer qu’une équation a une solution unique sur un intervalle  E7c 

D’après le tableau de variations dressé à la question précédente, la fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1].

De plus f(0)=0,1<0 et f(1)=e10,10,268>0. Donc 0 est compris entre f(0) et f(1). Par conséquent, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1].

4. Identifier une primitive  E6e • E6f • E8d • E11a 

F est dérivable sur [α ; β] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [α ; β].

Pour tout réel x de l’intervalle [α;β] :

F(x)=1×ex+[(x+1)]×(ex)0,1=ex+(x+1)ex0,1=xex0,1=f(x).

F est donc une primitive de la fonction f sur l’intervalle [α;β].

5. Calculer une aire  E13 • E14 

D’après la question 3. et les indications de l’énoncé, la courbe 𝒞 coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses respectives α et β. Comme les courbes 𝒞 et 𝒞 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, il suffit, pour calculer l’aire comprise entre ces deux courbes sur l’intervalle [α;β], de calculer l’aire sous la courbe 𝒞 sur ce même intervalle et de la multiplier par 2.

D’après le tableau de variations dressé à la question 2., la fonction f est continue sur [α;β].

La fonction f s’annule en α et est strictement croissante sur [α;1], puis est strictement décroissante sur [1;β] et s’annule en β : f est donc positive sur [α;β].

L’aire sous la courbe 𝒞 sur l’intervalle [α;β] est donc donnée, en unité(s) d’aire, par  : αβf(x)dx=[F(x)]αβ=F(β)F(α).

En prenant α0,112 et β3,577 dans l’expression précédente, nous obtenons : αβf(x)dx0,52.

Comme 0,52×21,04, l’aire du domaine compris entre les courbes 𝒞 et 𝒞 est donc d’environ 1,04 u. a.

6. Exploiter un calcul d’aire  E14 

D’après l’énoncé, l’unité sur chaque axe représente 5 mètres. Une unité d’aire est donc égale à 25 m2. L’aire du massif floral est donc d’environ 1,04×25=26 m2. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, il faudra donc 36×26=936 plants de tulipes pour la réalisation de ce massif.