Réalisation d’un massif floral

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

f(x) = xe–x - 0,1.

▶ 1. Déterminer la limite de f en + ∞.

▶ 2. Étudier les variations de f sur [0 ; + ∞[ et dresser le tableau de variations.

▶ 3. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1].

On admet l’existence du nombre réel strictement positif β tels que α < β et f(β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [α ; β] dans un repère orthogonal et C′ la courbe symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses.

L’unité sur chaque axe représente 5 mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

▶ 4. Démontrer que la fonction F définie sur l’intervalle [α ; β] par :

F(x) = - (x + 1)e–x - 0,1x

est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [α ; β].

▶ 5. Calculer, en unités d’aire, la valeur arrondie à 0,01 près de l’aire du domaine compris entre les courbes C et C′.

On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes : α ≈ 0,112 et β ≈ 3,577.

▶ 6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants nécessaires à la réalisation de ce massif.