Fonction exponentielle
matT_1411_03_01C
Ens. spécifique
13
Amérique du Sud • Novembre 2014
Exercice 4 • 5 points
On désire réaliser un portail comme indiqué à l'annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.
Partie A : Modélisation de la partie supérieure du portail
On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l'intervalle [0 2] par 
où b est un nombre réel. On note 
la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 2].
pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 2].
Dans la suite la fonction f est définie sur l'intervalle [0 2] par :
.
Partie B : Détermination d'une aire
Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.
est une primitive de la fonction f.
Partie C : Utilisation d'un algorithme
On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de 0 : ainsi la première planche à gauche porte le numéro 0.
| Variables | Les nombres X et S sont des nombres réels | |
| Initialisation | On affecte à S la valeur 0 | |
|
| On affecte à X la valeur 0 | |
| Traitement | Tant Que X + 0,17 | |
|
|
| S prend la valeur S + … |
|
|
| X prend la valeur X + 0,17 |
|
| Fin de Tant Que | |
| Affichage | On affiche S | |
Annexe 1
Annexe 2
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Dérivation
E6 e • E6 f - Variations d'une fonction
E6 c - Définition et signe de la fonction exponentielle
E8 a • E8 e - Primitive
E11 → Partie B, 1. - Intégrale et interprétation graphique
E13 • E14 → Partie B, 2.
Nos coups de pouce
Partie B
sur l'intervalle 
avant de calculer une aire à l'aide d'une intégrale.
Partie C
et 
dans cet algorithme.
N'oubliez pas la dernière planche pour le calcul de la somme des aires des planches du vantail de droite, planche qui ne nécessite pas d'espace de 0,05 m sur sa droite.
Partie A : modélisation du bord supérieur du portail
> 1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction
Notez bien
Si 
est une fonction dérivable sur un intervalle I alors : 
.
La fonction 
est dérivable sur 
comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur 
. Pour tout 
appartenant à 
:
.
b) Déterminer le sens de variation d'une fonction
Pour tout réel appartenant à 
, nous pouvons remarquer que 
et 
.
Ainsi, par produit, 
si 
.
Par conséquent, 
> 2. Déterminer un réel, une condition étant donnée
Notez bien
.
Comme la fonction 
est strictement décroissante sur 
, elle atteint son maximum en 
et ce maximum est 
.
La hauteur maximale du portail devant être égale à 
m, nous obtenons 
.
Cela nous donne finalement 
.
Partie B : détermination d'une aire
> 1. Identifier une primitive d'une fonction donnée sur un intervalle
La fonction 
est dérivable sur 
comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur 
.
Pour tout 
appartenant à 
:
> 2. Calculer une aire
L'aire du vantail est donnée, en unités d'aire, par l'aire sous la courbe représentative de 
sur l'intervalle 
à laquelle on retranche l'aire sous la droite d'équation 
sur le même intervalle.
- La fonction
est dérivable sur 
donc 
est continue sur 
. - Pour tout
appartenant à 
, 
et 
, donc par produit 
.
Attention !
Les deux vantaux sont symétriques par rapport à l'axe vertical central du portail, donc ils ont la même aire.
L'aire de chaque vantail est donc donnée par 
.
Finalement :
Or 
.
Partie C : utilisation d'un algorithme
> 1. Calculer une aire
La largeur d'une planche augmentée de l'espace situé sur sa droite avant d'atteindre la planche suivante est de 
.
L'abscisse associée à la planche numéro 
est donc donnée par 
.
Attention !
N'oubliez pas de retrancher la hauteur de l'interstice entre le sol et le bas du portail.
La hauteur de la planche numéro 
est donnée par 
.
Notez bien
Aire de la planche 
hauteur 
largeur.
> 2. Compléter un algorithme
- La dernière planche à placer ne nécessite pas sur sa droite un espace de 0,05 m.
Il faut placer toutes les planches avec l'espace de 0,05 m à chaque fois, plus la dernière planche de largeur 0,12 m.
Notez bien
.
Comme l'algorithme augmente à chaque boucle la valeur de 
de 0,17, il ne faut donc pas que l'abscisse du bord gauche de la dernière planche soit supérieure à 
.
Cela se traduit dans l'algorithme par « Tant Que 
».
- Dans cet algorithme, S est la variable utilisée pour additionner les aires des planches successives. L'affichage final de S fournit donc la somme des aires des planches du vantail de droite. La variable
augmente à chaque boucle de l'aire de la planche considérée, c'est-à-dire de 
.
L'algorithme complété est donc le suivant :
| Variables | Les nombres | |
| Initialisation | On affecte à | |
|
| On affecte à | |
| Traitement | Tant Que | |
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| Fin de Tant Que | |
| Sortie | On affiche | |
