Réalisation d’un portail

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Réalisation d’un portail

Fonction exponentielle

matT_1411_03_01C

Ens. spécifique

13

Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 4 • 5 points

On désire réaliser un portail comme indiqué à l’annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.

Partie A : Modélisation de la partie supérieure du portail

On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par b est un nombre réel. On note la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

>1. a) Calculer pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 2].

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

>2. Sachant que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 2], f(x) représente la hauteur à partir du sol exprimée en mètres, déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.

Dans la suite la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

.

Partie B : Détermination d’une aire

Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.

>1. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 2] par est une primitive de la fonction f.

>2. En déduire l’aire en m2 de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−2 près de cette aire.

Partie C : Utilisation d’un algorithme

On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l’annexe 2) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de 0 : ainsi la première planche à gauche porte le numéro 0.

>1. Donner l’aire de la planche numéro k.

>2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.


Variables


Les nombres X et S sont des nombres réels


Initialisation


On affecte à S la valeur 0



On affecte à X la valeur 0


Traitement


Tant Que X + 0,17 < …




S prend la valeur S + …




X prend la valeur X + 0,17



Fin de Tant Que


Affichage


On affiche S

Annexe 1


Annexe 2


Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation  E6e• E6f  → Partie A, 1. a).
  • Variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 1. b).
  • Définition et signe de la fonction exponentielle  E8a• E8e  → Partie A, 1. b) et 2. ; partie B, 2.
  • Primitive  E11  → Partie B, 1.
  • Intégrale et interprétation graphique  E13 • E14  → Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pensez à justifier la continuité et la positivité de la fonction sur l’intervalle avant de calculer une aire à l’aide d’une intégrale.

Partie C

>2. Essayez de dégager le rôle des variables et dans cet algorithme.

N’oubliez pas la dernière planche pour le calcul de la somme des aires des planches du vantail de droite, planche qui ne nécessite pas d’espace de 0,05 m sur sa droite.

Corrigé
Corrigé

Partie A : modélisation du bord supérieur du portail

>1. a) Déterminer la dérivée d’une fonction

Notez bien

Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors : .

La fonction est dérivable sur comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur . Pour tout appartenant à  :

.

b) Déterminer le sens de variation d’une fonction

Pour tout réel appartenant à , nous pouvons remarquer que et .

Ainsi, par produit, si .

Par conséquent, la fonctionest strictement décroissante sur.

>2. Déterminer un réel, une condition étant donnée

Notez bien

.

Comme la fonction est strictement décroissante sur , elle atteint son maximum en et ce maximum est .

La hauteur maximale du portail devant être égale à m, nous obtenons .

Cela nous donne finalement .

Partie B : détermination d’une aire

>1. Identifier une primitive d’une fonction donnée sur un intervalle

La fonction est dérivable sur comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur .

Pour tout appartenant à  :

La fonctionest donc une primitive desur.

>2. Calculer une aire

L’aire du vantail est donnée, en unités d’aire, par l’aire sous la courbe représentative de sur l’intervalle à laquelle on retranche l’aire sous la droite d’équation sur le même intervalle.

  • La fonction est dérivable sur donc est continue sur.
  • Pour tout appartenant à , et , donc par produit .

La fonctionest donc positive sur.

Attention !

Les deux vantaux sont symétriques par rapport à l’axe vertical central du portail, donc ils ont la même aire.

L’aire de chaque vantail est donc donnée par .

Finalement :

Or .

L’aire de chaque vantail est donc égale à.

Partie C : utilisation d’un algorithme

>1. Calculer une aire

La largeur d’une planche augmentée de l’espace situé sur sa droite avant d’atteindre la planche suivante est de .

L’abscisse associée à la planche numéro est donc donnée par .

Attention !

N’oubliez pas de retrancher la hauteur de l’interstice entre le sol et le bas du portail.

La hauteur de la planche numéro est donnée par .

Notez bien

Aire de la planche hauteur largeur.

L’aire de la planche numéroest donc égale à.

>2. Compléter un algorithme

  • La dernière planche à placer ne nécessite pas sur sa droite un espace de 0,05 m.

Il faut placer toutes les planches avec l’espace de 0,05 m à chaque fois, plus la dernière planche de largeur 0,12 m.

Notez bien

.

Comme l’algorithme augmente à chaque boucle la valeur de de 0,17, il ne faut donc pas que l’abscisse du bord gauche de la dernière planche soit supérieure à .

Cela se traduit dans l’algorithme par « Tant Que  ».

  • Dans cet algorithme, S est la variable utilisée pour additionner les aires des planches successives. L’affichage final de S fournit donc la somme des aires des planches du vantail de droite. La variable augmente à chaque boucle de l’aire de la planche considérée, c’est-à-dire de .

L’algorithme complété est donc le suivant :


Variables


Les nombres et sont des nombres réels


Initialisation


On affecte à la valeur 0



On affecte à la valeur 0


Traitement


Tant Que




prend la valeur




prend la valeur



Fin de Tant Que


Sortie


On affiche