Annale corrigée Exercice Ancien programme

Réalisation d'un portail

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 70 min

Réalisation d'un portail

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégration • Compléments sur les fonctions

 

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a telle que 0   2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-après. Les côtés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d'une portion de courbe.

matT_1706_02_01C_01

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [– 2   2] par :

f(x)=b8(exb+e xb)+94 où b > 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (a f(a)), (a f(a)), (a  0) et (a  0) et on note S le sommet de la courbe de f, comme illustré ci-après.

matT_1706_02_01C_02

partie a

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [– 2  2], f(– x= f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [– 2  2] :

f(x)=18(exbe xb)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [– 2   2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

partie b

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que = 1.

2. Montrer que l'équation f(x= 1,5 admet une unique solution sur l'intervalle [0  2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

3. Dans cette question, on choisit = 1,8 et = 1. Le client décide d'automatiser son portail si la masse d'un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à 20 kg  m–2. Que décide le client ?

partie c

On conserve les valeurs = 1,8 et = 1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d'abscisse 1.

matT_1706_02_01C_03

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze : Aire = b+B2×h.

Les clés du sujet

Partie B

3. Calculez l'aire d'un vantail à l'aide d'une intégrale en vérifiant au préalable la continuité et la positivité de la fonction f sur l'intervalle [0  a].

Partie C

Pour la forme 2, déterminez tout d'abord une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 et déduisez-en OG, CH et l'aire du trapèze OGHC.

Corrigé

Partie A

1. Montrer qu'une fonction est paire.

Pour tout réel x [- 2  2] :

f(x)=b8(e(x)b+e(x)b)+94=b8(exb+exb)+94=f(x).

Dans le repère orthonormé proposé, les points d'abscisses x et -x ont la même ordonnée, donc la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Déterminer l'expression d'une dérivée  E6e • E6f • E8d 

notez bien !

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Les fonctions affines xxb et xxb sont dérivables sur [- 2  2]. La fonction exponentielle est dérivable sur . Par composition et somme, la fonction xexb+exb est dérivable sur [- 2  2]. La fonction f est donc dérivable sur [- 2  2] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [- 2  2].

Pour tout réel x[22], f(x)=b8(1bexb1bexb)=18(exbexb).

3. Construire et exploiter le tableau de variations d'une fonction  E8a • E8f 

notez bien !

Pour tous réels a et b, abeaeb.

Pour tout réel x [- 2  2] :

f(x)>018(exbexb)>0exbexb0exbexbxbxb2xb0b>0x0.

Nous en déduisons le tableau de variations de f.

matT_1706_tab1

notez bien !

e0=1.

f(2)=f(2)question 1=b8(e2b+e2b)+94 et f(0)=b8(e0b+e0b)+94=b4+94=9b4.

Les coordonnées du point S sont donc (09b4).

Partie B

1. Déterminer un paramètre sous contrainte

On souhaite que le point S soit à 2 mètres du sol soit yS = 2. Or, d'après la question 3. de la partie A, yS=9b4.

Nous obtenons donc 2=9b48=9bb=1.

Le paramètre b est égal à 1.

2. Démontrer qu'une équation admet une solution unique  E7c 

D'après le tableau de variations de la question 3. de la partie A, la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0   2]. De plus, f(0) = yS = 2 et f(2)=18(e2+e2)+941,3.

1,5 est donc compris entre f(0) et f(2). D'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution sur l'intervalle [0  2]. Avec la calculatrice, une valeur approchée de a au centième est 1,76.

3. Calculer et exploiter l'aire d'un domaine  E14 • E11c • E11d 

Calculons l'aire d'un vantail.

D'après le tableau de variations dressé à la question 3. de la partie A, la fonction f est continue et positive (f(2) 1,3) sur l'intervalle [0   a] = [0   1,8].

L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1,8 est donc donnée par 01,8f(x)dx.

notez bien !

Pour tout a ≠ 0, une primitive sur de la fonction xeax est la fonction x1aeax.

Sachant que b = 1 :

01,8f(x)dx=01,8(18(ex+ex)+94)dx=[18(exex)+94x]01,8=18(e1,8e1,8)+94×1,83,3.

L'aire d'un vantail est donc d'environ 3,3 u. a., soit 3,3 m2 environ.

La masse d'un vantail est donc d'environ 20 × 3,3 = 66 kg qui dépasse les 60 kg indiqués.

Le client décidera donc d'automatiser son portail.

Partie C  E6b 

L'aire de la forme 1 est A1 = OC × OS = a × yS = 1,8 ×= 3,6 m2.

L'aire de la forme 2 est A2=OG+CH2×OC=OG+CH2×1,8m2.

Une équation de la tangente (GH) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

y = f(1) × (x - 1) f(1).

G (GH) et xG = 0 donc :

OG = yG = f(1) × (0 - 1) + f(1)= f(1) - f(1).

H (GH) et xH = a = 1,8 donc :

CH = yH = f(1) × (1,8 - 1) + f(1)= f(1) + 0,8 f(1).

Finalement, l'aire de la forme 2 est :A2=OG+CH2×1,8=f(1)f(1)+f(1)+0,8f(1)2×1,8=1,8×[f(1)0,1f(1)]m2 où f(1)0,1f(1)=18(e1+e1)+940,1×(18)(e1e1)=18(0,9e+1,1e1)+94.

L'économie réalisée est donc A1 - A2.

On obtient :

A1A2=3,61,8×[18(0,9e+1,1e1)+94]0,1915 m2

L'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1 est d'environ 0,1915 m2 par vantail, soit 1 915 cm2.

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