Réalisation d'un portail

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 70 min

Réalisation d’un portail

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégration • Compléments sur les fonctions

 

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a telle que 0 <  2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-après. Les côtés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

matT_1706_02_01C_01

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [– 2 ; 2] par :

f(x)=b8(exb+e xb)+94 où b > 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (a ;f(a)), (a ;f(a)), (a ; 0) et (a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f, comme illustré ci-après.

matT_1706_02_01C_02

partie a

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [– 2 ; 2], f(– x= f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [– 2 ; 2] :

f(x)=18(exbe xb)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [– 2 ; 2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

partie b

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que = 1.

2. Montrer que l’équation f(x= 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

3. Dans cette question, on choisit = 1,8 et = 1. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à 20 kg  m–2. Que décide le client ?

partie c

On conserve les valeurs = 1,8 et = 1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

matT_1706_02_01C_03

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze : Aire = b+B2×h.

Les clés du sujet

Partie B

3. Calculez l’aire d’un vantail à l’aide d’une intégrale en vérifiant au préalable la continuité et la positivité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; a].

Partie C

Pour la forme 2, déterminez tout d’abord une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 et déduisez-en OG, CH et l’aire du trapèze OGHC.