Réalisation d’un portail

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Réalisation d’un portail

Fonction exponentielle

matT_1411_03_01C

Ens. spécifique

13

Amérique du Sud • Novembre 2014

Exercice 4 • 5 points

On désire réaliser un portail comme indiqué à l’annexe  1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.

Partie A  : Modélisation de la partie supérieure du portail

On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle [0  2] par b est un nombre réel. On note la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0  2].

>1. a) Calculer pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0    2].

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0  2].

>2. Sachant que, pour tout réel x de l’intervalle [0  2], f(x) représente la hauteur à partir du sol exprimée en mètres, déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5  m.

Dans la suite la fonction f est définie sur l’intervalle [0  2] par :

.

Partie B  : Détermination d’une aire

Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05  m de hauteur du sol.

>1. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0  2] par est une primitive de la fonction f.

>2. En déduire l’aire en m2 de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10&minus 2 près de cette aire.

Partie C  : Utilisation d’un algorithme

On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12  m, espacées de 0,05  m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l’annexe  2) et le bas de chaque planche à 0,05  m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de 0  : ainsi la première planche à gauche porte le numéro  0.

>1. Donner l’aire de la planche numéro  k.

>2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.


Variables


Les nombres X et S sont des nombres réels


Initialisation


On affecte à S la valeur 0



On affecte à X la valeur 0


Traitement


Tant Que X + 0,17




S prend la valeur S + …




X prend la valeur X + 0,17



Fin de Tant Que


Affichage


On affiche S

Annexe  1


Annexe  2


Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation   E6e• E6f  → Partie A, 1. a).
  • Variations d’une fonction   E6c  → Partie A, 1. b).
  • Définition et signe de la fonction exponentielle   E8a• E8e  → Partie A, 1. b) et 2.partie B, 2.
  • Primitive   E11  → Partie B, 1.
  • Intégrale et interprétation graphique   E13 • E14  → Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pensez à justifier la continuité et la positivité de la fonction sur l’intervalle avant de calculer une aire à l’aide d’une intégrale.

Partie C

>2. Essayez de dégager le rôle des variables et dans cet algorithme.

N’oubliez pas la dernière planche pour le calcul de la somme des aires des planches du vantail de droite, planche qui ne nécessite pas d’espace de 0,05  m sur sa droite.