Rectangles et carrés

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine


D’après France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 3 • 5 points

ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24 cm.

On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l’on colorie en noir.

mat3_1309_07_00S_02

1. Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous 7 cm de côté. Dans ce cas :

a) quel est le périmètre d’un carré gris ?

b) quel est le périmètre du rectangle noir ?

2. Dans cette question, la longueur du côté des quatre carrés gris peut varier. Par conséquent, les dimensions du rectangle noir varient aussi.

Est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris ?

Les clés du sujet

Points du programme

Périmètre de rectangles • Développement et réduction d’une expression littérale • Résolution d’une équation de degré 1.

Nos coups de pouce

1. Appliquer les formules donnant le périmètre d’un carré et celui d’un rectangle (voir formulaire).

2. Noter 4215144-Eqn1 la mesure du côté d’un carré gris.

Exprimer en fonction de 4215144-Eqn2 le périmètre du rectangle noir.

Exprimer en fonction de 4215144-Eqn3 le périmètre d’un carré gris puis celui des quatre carrés gris.

Résoudre une équation, puis conclure.

Corrigé

Corrigé

1. a) Notons 4215144-Eqn4 le périmètre d’un carré gris.

4215144-Eqn5 soit 4215144-Eqn6 cm.

b) Notons 4215144-Eqn7 le périmètre du rectangle noir.

La longueur 4215144-Eqn8 du rectangle noir mesure 4215144-Eqn9 cm soit 4215144-Eqn10.

La largeur 4215144-Eqn11 du rectangle noir mesure 4215144-Eqn12 cm soit 4215144-Eqn13.

4215144-Eqn14.

Soit 4215144-Eqn15.

2. Notons 4215144-Eqn16 la mesure du côté d’un carré gris.

Notons 4215144-Eqn17 le périmètre du rectangle noir.

La longueur 4215144-Eqn18 du rectangle noir mesure 4215144-Eqn19 cm soit 4215144-Eqn20.

La largeur 4215144-Eqn21 du rectangle noir mesure 4215144-Eqn22 cm soit 4215144-Eqn23.

4215144-Eqn24

4215144-Eqn25

4215144-Eqn26.

Notons 4215144-Eqn27 le périmètre d’un carré gris.

4215144-Eqn28.

Le périmètre du rectangle noir sera égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris lorsque 4215144-Eqn29, soit lorsque 4215144-Eqn30.

Conseil

N’oublie pas de vérifier que la valeur trouvée pour la longueur

du côté du carré est bien inférieure à 12 cm.

 

Résolvons cette équation.

4215144-Eqn40

Conclusion : il est possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris. Cela se produit lorsque le côté d’un carré gris mesure 4,5 cm.