Récupération des eaux pluviales

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Récupération des eaux pluviales

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison 

la profondeur maximale doit être de deux mètres 

elle doit mesurer cinq mètres de long 

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2  2e] définie par :

f(x)=xln(x2)x+2.

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 2), I(2 0) et B(2e 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations = 2, = 2 et = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2  2e], la fonction G définie par :

G(x)=x22ln(x2)x24

est une primitive de la fonction g définie par g (x= x ln(x2).

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2  2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2  2e] :

v(x)=5[x22ln(x2)2xln(x2)x24+2x3].

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.

Variables

a est un réel

b est un réel

Traitement

a prend la valeur 2

b prend la valeur 2e

Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :

c prend la valeur (a + b)/2

Si v (c) V/2, alors :

a prend la valeur c

Sinon

b prend la valeur c

Fin Si

Fin Tant que

Sortie

Afficher f(c)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité  E7  Partie A, 3. c)  Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c)  Partie B, 1.

Méthode de dichotomie  A5  Partie B, 2.

Calcul intégral  E11a • E11c • E13 • E14 Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c)  Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l’intervalle [2  2e] avant de calculer l’aire demandée à l’aide d’une intégrale.

Partie B

 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [2  2e] pour déterminer l’unique solution sur cet intervalle de l’équation f(x= 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.

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