Récupération des eaux pluviales

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Récupération des eaux pluviales

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

elle doit mesurer cinq mètres de long ;

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

f(x)=xln(x2)x+2.

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations = 2, = 2 et = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

G(x)=x22ln(x2)x24

est une primitive de la fonction g définie par g (x= x ln(x2).

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

v(x)=5[x22ln(x2)2xln(x2)x24+2x3].

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.

Variables

a est un réel

b est un réel

Traitement

a prend la valeur 2

b prend la valeur 2e

Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :

c prend la valeur (a + b)/2

Si v (c) < V/2, alors :

a prend la valeur c

Sinon

b prend la valeur c

Fin Si

Fin Tant que

Sortie

Afficher f(c)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité  E7  Partie A, 3. c) ; Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) ; Partie B, 1.

Méthode de dichotomie  A5  Partie B, 2.

Calcul intégral  E11a • E11c • E13 • E14 Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) ; Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l’intervalle [2 ; 2e] avant de calculer l’aire demandée à l’aide d’une intégrale.

Partie B

 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [2 ; 2e] pour déterminer l’unique solution sur cet intervalle de l’équation f(x= 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.