Fonction logarithme népérien

matT_1606_02_07C

Ens. spécifique

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Récupération des eaux pluviales

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

elle doit mesurer cinq mètres de long ;

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

$f (x) = x \ln (\frac{x}{2}) - x + 2$ .

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations y = 2, x = 2 et x = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

$G (x) = \frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4}$

est une primitive de la fonction g définie par g (x) = x ln $(\frac{x}{2})$ .

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

$v (x) = 5 [\frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2}) - 2 x \ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4} + 2 x - 3]$ .

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.

Variables	a est un réel b est un réel
Traitement	a prend la valeur 2 b prend la valeur 2e Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :
		c prend la valeur (a + b)/2 Si v (c) < V/2, alors :
			a prend la valeur c
		Sinon
			b prend la valeur c
		Fin Si
	Fin Tant que
Sortie	Afficher f(c)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f → Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité E7 → Partie A, 3. c) ; Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e → Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) ; Partie B, 1.

Méthode de dichotomie A5 → Partie B, 2.

Calcul intégral E11a • E11c • E13 • E14 → Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) ; Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l’intervalle [2 ; 2e] avant de calculer l’aire demandée à l’aide d’une intégrale.

Partie B

▶ 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [2 ; 2e] pour déterminer l’unique solution sur cet intervalle de l’équation f(x) = 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.

Corrigé

partie a

▶ 1. Valider par le calcul des observations graphiques

$f (x_{B}) = f (2 e) = 2 e \ln (\frac{2 e}{2}) - 2 e + 2 = 2 e \underset{= 1}{\underset{︸}{\ln (e)}} - 2 e + 2 = 2 = y_{B}$ donc $B \in$ 𝒞f.

$f (x_{I}) = f (2) = 2 \ln (\frac{2}{2}) - 2 + 2 = 2 \underset{= 0}{\underset{︸}{\ln (1)}} - 2 + 2 = 0 = y_{I}$ donc $I \in$ 𝒞f.

La fonction $u : x \mapsto \frac{x}{2}$ est une fonction affine dérivable sur $[2; 2 e]$ et strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, la fonction $ln (u) : x \mapsto ln (\frac{x}{2})$ est dérivable sur $[2; 2 e]$ . Il s’ensuit que la fonction f est dérivable sur $[2; 2 e]$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $[2; 2 e]$ . Pour tout $x \in [2; 2 e]$ :

$f^{'} (x) = 1 \times ln (\frac{x}{2}) + x \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}} - 1 = ln (\frac{x}{2}) + 1 - 1 = ln (\frac{x}{2})$ .

Notez bien

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle J, alors la fonction $ln (u)$ est dérivable sur J et $[ln (u)]' = \frac{u^{'}}{u}$ .

Le coefficient directeur de la tangente à 𝒞f au point I est $f^{'} (2) = ln (\frac{2}{2}) = ln (1) = 0$ . Comme le point I appartient à l’axe des abscisses, nous en déduisons que l’axe des abscisses est tangent à la courbe 𝒞f au point I.

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d’un point

Une équation de la droite 𝒯 est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ avec $a = 2 e$ .

Or $f (2 e) = 2 = y_{B}$ et $f^{'} (2 e) = ln (\frac{2 e}{2}) = ln (e) = 1$ . Donc :

$f^{'} (2 e) (x - 2 e) + f (2 e) = 1 \times (x - 2 e) + 2 = x - 2 e + 2$ .

La droite 𝒯 a pour équation réduite y = x – 2e + 2.

D est le point d’intersection de 𝒯 avec l’axe des abscisses ;

D appartient à 𝒯 donc $y_{D} = x_{D} - 2 e + 2$ ;

D appartient à l’axe des abscisses donc $y_{D} = 0$ . Finalement $x_{D} = 2 e - 2$ .

Le point D a donc pour coordonnées (2e – 2 ; 0).

b) Encadrer un volume

D’après l’énoncé : $aire (ABI) \leq S \leq aire (AIDB)$ .

Par conséquent, puisque $V = 5 \times S$ , nous avons :

$5 \times aire (ABI) \leq V \leq 5 \times aire (AIDB)$ .

Or :

$AB = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 e - 2)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = 2 e - 2$

$AI = \sqrt{{(x_{I} - x_{A})}^{2} + {(y_{I} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}} = 2$

$ID = \sqrt{{(x_{D} - x_{I})}^{2} + {(y_{D} - y_{I})}^{2}} = \sqrt{{(2 e - 2 - 2)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 2 e - 4$

Ainsi $aire (ABI) = \frac{AB \times AI}{2} = \frac{(2 e - 2) \times 2}{2} = 2 e - 2$ et

$aire (AIDB) = \frac{(ID + AB) \times AI}{2} = \frac{[(2 e - 4) + (2 e - 2)] \times 2}{2} = 4 e - 6$ .

Notez bien

$aire (trapèze) = \frac{(petite base + grande base) \times hauteur}{2}$ .

Finalement : $10 e - 10 \leq V \leq 20 e - 30$ .

▶ 3. a) Démontrer qu’une fonction est une primitive d’une autre

La fonction $G$ est dérivable sur [2 ; 2e] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [2 ; 2e]. Pour tout $x \in [2; 2 e]$ :

$G^{'} (x) = x \times \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{2} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}} - \frac{2 x}{4} = x \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x \ln (\frac{x}{2}) = g (x) .$

La fonction G est donc une primitive de g sur [2 ; 2e].

b) Identifier une primitive d’une fonction

Pour tout $x \in [2; 2 e]$ , $f (x) = x ln (\frac{x}{2}) - x + 2 = g (x) - x + 2 .$

Une primitive $F$ de $f$ sur $[2; 2 e]$ est donc donnée, pour tout $x \in [2; 2 e]$ , par :

$\begin{matrix} F (x) = G (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x = \frac{x^{2}}{2} ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x \\ = \frac{x^{2}}{2} ln (\frac{x}{2}) - \frac{3}{4} x^{2} + 2 x . \end{matrix}$

c) Calculer une aire et un volume

Pour tout $x \in [2; 2 e]$ , $f (x) = x ln (\frac{x}{2}) - x + 2 \Leftrightarrow 2 - f (x) = x \times [1 - ln (\frac{x}{2})]$ .

Nous avons : $1 - \ln (\frac{x}{2}) \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow \ln (e) \geq \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow e \geq \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2 e \geq x$ .

Par conséquent, si $x \in [2; 2 e]$ , $2 - f (x) = x \times [1 - ln (\frac{x}{2})] \geq 0$ .

Ainsi la fonction $x \mapsto 2 - f (x)$ est positive sur $[2; 2 e]$ .

La fonction $f$ étant dérivable sur $[2; 2 e]$ (question A 1.), elle est continue sur cet intervalle et la fonction $x \mapsto 2 - f (x)$ est continue sur $[2; 2 e]$ comme différence de fonctions continues sur $[2; 2 e]$ .

L’aire $S$ est donc donnée par $S = \int_{2}^{2 e} (2 - f (x)) d x$ . Nous obtenons alors :

$\begin{matrix} S = \int_{2}^{2e} (2 - f (x)) d x = {[2 x - F (x)]}_{2}^{2 e} \\ = {[\frac{3}{4} x^{2} - \frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2})]}_{2}^{2 e} \\ = [\frac{3}{4} {(2 e)}^{2} - \frac{{(2 e)}^{2}}{2} \ln (\frac{2 e}{2})] - [\frac{3}{4} \times 2^{2} - \frac{2^{2}}{2} \ln (\frac{2}{2})] \\ = [3 e^{2} - 2 e^{2} \underset{= 1}{\underset{︸}{\ln (e)}}] - [3 - 2 \underset{= 0}{\underset{︸}{\ln (1)}}] \\ = e^{2} - 3 m^{2} . \end{matrix}$

Le volume est donc : $V = 5 \times S = 5 \times (e^{2} - 3) = 5 e^{2} - 15 \approx 22 m^{3}$ .

partie b

▶ 1. Calculer un volume

Lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de 1 mètre, nous avons f(x) = 1.

D’après la question A 1., pour tout $x \in [2; 2 e]$ , $f^{'} (x) = ln (\frac{x}{2})$ , d’où :

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln (\frac{x}{2}) > ln (1) \Leftrightarrow \frac{x}{2} > 1 \Leftrightarrow x > 2$ .

Pour tout $x \in] 2; 2 e]$ , $f^{'} (x) > 0$ donc f est strictement croissante sur [2 ; 2e]. D’après la question A 3. c), f est continue sur [2 ; 2e].

D’après la question A 1., f(2) = 0 et f(2e) = 2.

1 est donc compris entre f(2) et f(2e).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 1 admet une solution unique α sur [2 ; 2e].

À l’aide de la calculatrice, on obtient $α \approx 4,311$ , puis $v (α) \approx 7,453$ .

Lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de 1 mètre, le volume d’eau dans la cuve est d’environ 7 m3.

▶ 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme

L’algorithme proposé exploite la méthode de dichotomie. Tant que la condition $v (b) - v (a) > 10^{- 3}$ est satisfaite, l’algorithme calcule la valeur correspondant au centre c de l’intervalle $[a; b]$ et remplace l’une des deux bornes de l’intervalle $[a; b]$ par ledit centre en analysant la condition $v (c) < V / 2$ . Lorsque la condition $v (b) - v (a) > 10^{- 3}$ n’est plus satisfaite, l’algorithme affiche $f (c)$ . On obtient ainsi une valeur approchée de la hauteur d’eau f(c) (en mètres) dans la cuve lorsque la cuve contient un volume d’eau égal à $\frac{V}{2}$ (en m3) (avec une précision d’au moins 10–3).

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▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d’un point

b) Encadrer un volume

▶ 3. a) Démontrer qu’une fonction est une primitive d’une autre

b) Identifier une primitive d’une fonction

c) Calculer une aire et un volume

partie b

▶ 1. Calculer un volume

▶ 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme

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