Fonction logarithme népérien

matT_1606_02_07C

Ens. spécifique

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 6 points

Récupération des eaux pluviales

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.

Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison

la profondeur maximale doit être de deux mètres

elle doit mesurer cinq mètres de long

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l'intervalle [2 2e] définie par :

$f (x) = x \ln (\frac{x}{2}) - x + 2$ .

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 2), I(2 0) et B(2e 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d'intersection de la droite T avec l'axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l'aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d'équations y = 2, x = 2 et x = 2e.

S peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l'intervalle [2 2e], la fonction G définie par :

$G (x) = \frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4}$

est une primitive de la fonction g définie par g (x) = x ln $(\frac{x}{2})$ .

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [2 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l'aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l'intervalle [2 2e] :

$v (x) = 5 [\frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2}) - 2 x \ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4} + 2 x - 3]$ .

▶ 1. Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d'exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l'algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.

Variables	a est un réel b est un réel
Traitement	a prend la valeur 2 b prend la valeur 2e Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :
		c prend la valeur (a + b)/2 Si v (c) V/2, alors :
			a prend la valeur c
		Sinon
			b prend la valeur c
		Fin Si
	Fin Tant que
Sortie	Afficher f(c)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f → Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité E7 → Partie A, 3. c) Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e → Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) Partie B, 1.

Méthode de dichotomie A5 → Partie B, 2.

Calcul intégral E11a • E11c • E13 • E14 → Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l'intervalle [2 2e] avant de calculer l'aire demandée à l'aide d'une intégrale.

Partie B

▶ 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [2 2e] pour déterminer l'unique solution sur cet intervalle de l'équation f(x) = 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.

Corrigé

partie a

▶ 1. Valider par le calcul des observations graphiques

$f (x_{B}) = f (2 e) = 2 e \ln (\frac{2 e}{2}) - 2 e + 2 = 2 e \underset{= 1}{\underset{︸}{\ln (e)}} - 2 e + 2 = 2 = y_{B}$ donc $B \in$ f.

$f (x_{I}) = f (2) = 2 \ln (\frac{2}{2}) - 2 + 2 = 2 \underset{= 0}{\underset{︸}{\ln (1)}} - 2 + 2 = 0 = y_{I}$ donc $I \in$ f.

La fonction $u : x \mapsto \frac{x}{2}$ est une fonction affine dérivable sur $[2 2 e]$ et strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, la fonction $ln (u) : x \mapsto ln (\frac{x}{2})$ est dérivable sur $[2 2 e]$ . Il s'ensuit que la fonction f est dérivable sur $[2 2 e]$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $[2 2 e]$ . Pour tout $x \in [2 2 e]$ :

$f^{'} (x) = 1 \times ln (\frac{x}{2}) + x \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}} - 1 = ln (\frac{x}{2}) + 1 - 1 = ln (\frac{x}{2})$ .

Notez bien

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle J, alors la fonction $ln (u)$ est dérivable sur J et $[ln (u)]' = \frac{u^{'}}{u}$ .

Le coefficient directeur de la tangente à f au point I est $f^{'} (2) = ln (\frac{2}{2}) = ln (1) = 0$ . Comme le point I appartient à l'axe des abscisses, nous en déduisons que l'axe des abscisses est tangent à la courbe f au point I.

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point

Une équation de la droite est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ avec $a = 2 e$ .

Or $f (2 e) = 2 = y_{B}$ et $f^{'} (2 e) = ln (\frac{2 e}{2}) = ln (e) = 1$ . Donc :

$f^{'} (2 e) (x - 2 e) + f (2 e) = 1 \times (x - 2 e) + 2 = x - 2 e + 2$ .

La droite a pour équation réduite y = x – 2e + 2.

D est le point d'intersection de avec l'axe des abscisses

D appartient à donc $y_{D} = x_{D} - 2 e + 2$

D appartient à l'axe des abscisses donc $y_{D} = 0$ . Finalement $x_{D} = 2 e - 2$ .

Le point D a donc pour coordonnées (2e – 2 0).

b) Encadrer un volume

D'après l'énoncé : $aire (ABI) \leq S \leq aire (AIDB)$ .

Par conséquent, puisque $V = 5 \times S$ , nous avons :

$5 \times aire (ABI) \leq V \leq 5 \times aire (AIDB)$ .

Or :

$AB = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 e - 2)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = 2 e - 2$

$AI = \sqrt{{(x_{I} - x_{A})}^{2} + {(y_{I} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}} = 2$

$ID = \sqrt{{(x_{D} - x_{I})}^{2} + {(y_{D} - y_{I})}^{2}} = \sqrt{{(2 e - 2 - 2)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 2 e - 4$

Ainsi $aire (ABI) = \frac{AB \times AI}{2} = \frac{(2 e - 2) \times 2}{2} = 2 e - 2$ et

$aire (AIDB) = \frac{(ID + AB) \times AI}{2} = \frac{[(2 e - 4) + (2 e - 2)] \times 2}{2} = 4 e - 6$ .

Notez bien

$aire (trapèze) = \frac{(petite base + grande base) \times hauteur}{2}$ .

Finalement : $10 e - 10 \leq V \leq 20 e - 30$ .

▶ 3. a) Démontrer qu'une fonction est une primitive d'une autre

La fonction $G$ est dérivable sur [2 2e] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [2 2e]. Pour tout $x \in [2 2 e]$ :

$G^{'} (x) = x \times \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{2} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}} - \frac{2 x}{4} = x \ln (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x \ln (\frac{x}{2}) = g (x) .$

La fonction G est donc une primitive de g sur [2 2e].

b) Identifier une primitive d'une fonction

Pour tout $x \in [2 2 e]$ , $f (x) = x ln (\frac{x}{2}) - x + 2 = g (x) - x + 2 .$

Une primitive $F$ de $f$ sur $[2 2 e]$ est donc donnée, pour tout $x \in [2 2 e]$ , par :

$\begin{matrix} F (x) = G (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x = \frac{x^{2}}{2} ln (\frac{x}{2}) - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x \\ = \frac{x^{2}}{2} ln (\frac{x}{2}) - \frac{3}{4} x^{2} + 2 x . \end{matrix}$

c) Calculer une aire et un volume

Pour tout $x \in [2 2 e]$ , $f (x) = x ln (\frac{x}{2}) - x + 2 \Leftrightarrow 2 - f (x) = x \times [1 - ln (\frac{x}{2})]$ .

Nous avons : $1 - \ln (\frac{x}{2}) \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow \ln (e) \geq \ln (\frac{x}{2}) \Leftrightarrow e \geq \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2 e \geq x$ .

Par conséquent, si $x \in [2 2 e]$ , $2 - f (x) = x \times [1 - ln (\frac{x}{2})] \geq 0$ .

Ainsi la fonction $x \mapsto 2 - f (x)$ est positive sur $[2 2 e]$ .

La fonction $f$ étant dérivable sur $[2 2 e]$ (question A 1.), elle est continue sur cet intervalle et la fonction $x \mapsto 2 - f (x)$ est continue sur $[2 2 e]$ comme différence de fonctions continues sur $[2 2 e]$ .

L'aire $S$ est donc donnée par $S = \int_{2}^{2 e} (2 - f (x)) d x$ . Nous obtenons alors :

$\begin{matrix} S = \int_{2}^{2e} (2 - f (x)) d x = {[2 x - F (x)]}_{2}^{2 e} \\ = {[\frac{3}{4} x^{2} - \frac{x^{2}}{2} \ln (\frac{x}{2})]}_{2}^{2 e} \\ = [\frac{3}{4} {(2 e)}^{2} - \frac{{(2 e)}^{2}}{2} \ln (\frac{2 e}{2})] - [\frac{3}{4} \times 2^{2} - \frac{2^{2}}{2} \ln (\frac{2}{2})] \\ = [3 e^{2} - 2 e^{2} \underset{= 1}{\underset{︸}{\ln (e)}}] - [3 - 2 \underset{= 0}{\underset{︸}{\ln (1)}}] \\ = e^{2} - 3 m^{2} . \end{matrix}$

Le volume est donc : $V = 5 \times S = 5 \times (e^{2} - 3) = 5 e^{2} - 15 \approx 22 m^{3}$ .

partie b

▶ 1. Calculer un volume

Lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de 1 mètre, nous avons f(x) = 1.

D'après la question A 1., pour tout $x \in [2 2 e]$ , $f^{'} (x) = ln (\frac{x}{2})$ , d'où :

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln (\frac{x}{2}) > ln (1) \Leftrightarrow \frac{x}{2} > 1 \Leftrightarrow x > 2$ .

Pour tout $x \in] 2 2 e]$ , $f^{'} (x) > 0$ donc f est strictement croissante sur [2 2e]. D'après la question A 3. c), f est continue sur [2 2e].

D'après la question A 1., f(2) = 0 et f(2e) = 2.

1 est donc compris entre f(2) et f(2e).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 1 admet une solution unique α sur [2 2e].

À l'aide de la calculatrice, on obtient $α \approx 4,311$ , puis $v (α) \approx 7,453$ .

Lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de 1 mètre, le volume d'eau dans la cuve est d'environ 7 m3.

▶ 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme

L'algorithme proposé exploite la méthode de dichotomie. Tant que la condition $v (b) - v (a) > 10^{- 3}$ est satisfaite, l'algorithme calcule la valeur correspondant au centre c de l'intervalle $[a b]$ et remplace l'une des deux bornes de l'intervalle $[a b]$ par ledit centre en analysant la condition $v (c) V/2$ . Lorsque la condition $v (b) - v (a) > 10^{- 3}$ n'est plus satisfaite, l'algorithme affiche $f (c)$ . On obtient ainsi une valeur approchée de la hauteur d'eau f(c) (en mètres) dans la cuve lorsque la cuve contient un volume d'eau égal à $\frac{V}{2}$ (en m3) (avec une précision d'au moins 10–3).

Récupération des eaux pluviales

Partie A

Partie B

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Nos coups de pouce

Partie A

Partie B

partie a

▶ 1. Valider par le calcul des observations graphiques

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point

b) Encadrer un volume

▶ 3. a) Démontrer qu'une fonction est une primitive d'une autre

b) Identifier une primitive d'une fonction

c) Calculer une aire et un volume

partie b

▶ 1. Calculer un volume

▶ 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme

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