Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

elle doit mesurer cinq mètres de long ;

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

$f(x)=x\ln \left(\frac{x}{2}\right)-x+2$.

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations y = 2, x = 2 et x = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

$G(x)=\frac{x^2}{2}\ln \left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x^2}{4}$

est une primitive de la fonction g définie par g (x) = x ln$\left(\frac{x}{2}\right)$.

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

$v(x)=5\left[\frac{x^2}{2}\ln \left(\frac{x}{2}\right)-2x\ln \left(\frac{x}{2}\right)-\frac{x^2}{4}+2x-3\right]$.

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.