Fonction logarithme népérien
matT_1606_02_07C
Ens. spécifique
16
Amérique du Nord • Juin 2016
Exercice 2 • 6 points
Récupération des eaux pluviales
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau.
Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :
elle doit être située à deux mètres de sa maison
la profondeur maximale doit être de deux mètres
elle doit mesurer cinq mètres de long
elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-contre.
La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l'intervalle [2 2e] définie par :
.
La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points A(2 2), I(2 0) et B(2e 2).
Partie A
L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.
▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d'intersection de la droite T avec l'axe des abscisses.
a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.
b) On appelle S l'aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d'équations y = 2, x = 2 et x = 2e.
S peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
▶ 3. a) Montrer que, sur l'intervalle [2 2e], la fonction G définie par :
est une primitive de la fonction g définie par g (x) = x ln.
b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [2 2e].
c) Déterminer la valeur exacte de l'aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.
Partie B
Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d'eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à f(x).
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle [2 2e] :
.
▶ 1. Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d'exercice et v la fonction définie dans la partie B.
On considère l'algorithme ci-après.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Variables | a est un réel b est un réel | ||
Traitement | a prend la valeur 2 b prend la valeur 2e Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire : | ||
c prend la valeur (a + b)/2 Si v (c) V/2, alors : | |||
a prend la valeur c | |||
Sinon | |||
b prend la valeur c | |||
Fin Si | |||
Fin Tant que | |||
Sortie | Afficher f(c) |
Les clés du sujet
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f → Partie A, 1., 2. a) et 3. a)
Continuité E7 → Partie A, 3. c) Partie B, 1.
Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e → Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) Partie B, 1.
Méthode de dichotomie A5 → Partie B, 2.
Calcul intégral E11a • E11c • E13 • E14 → Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) Partie B, 1.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l'intervalle [2 2e] avant de calculer l'aire demandée à l'aide d'une intégrale.
Partie B
▶ 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [2 2e] pour déterminer l'unique solution sur cet intervalle de l'équation f(x) = 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.
Corrigé
partie a
▶ 1. Valider par le calcul des observations graphiques
donc f.
donc f.
La fonction est une fonction affine dérivable sur et strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, la fonction est dérivable sur . Il s'ensuit que la fonction f est dérivable sur comme produit et somme de fonctions dérivables sur . Pour tout :
.
Notez bien
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle J, alors la fonction est dérivable sur J et .
Le coefficient directeur de la tangente à f au point I est . Comme le point I appartient à l'axe des abscisses, nous en déduisons que l'axe des abscisses est tangent à la courbe f au point I.
▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point
Une équation de la droite est avec .
Or et . Donc :
.
La droite a pour équation réduite y = x – 2e + 2.
D est le point d'intersection de avec l'axe des abscisses
D appartient à donc
D appartient à l'axe des abscisses donc . Finalement .
Le point D a donc pour coordonnées (2e – 2 0).
b) Encadrer un volume
D'après l'énoncé : .
Par conséquent, puisque , nous avons :
.
Or :
Ainsi et
.
Notez bien
.
Finalement : .
▶ 3. a) Démontrer qu'une fonction est une primitive d'une autre
La fonction est dérivable sur [2 2e] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [2 2e]. Pour tout :
La fonction G est donc une primitive de g sur [2 2e].
b) Identifier une primitive d'une fonction
Pour tout ,
Une primitive de sur est donc donnée, pour tout, par :
c) Calculer une aire et un volume
Pour tout , .
Nous avons : .
Par conséquent, si , .
Ainsi la fonction est positive sur .
La fonction étant dérivable sur (question A 1.), elle est continue sur cet intervalle et la fonction est continue sur comme différence de fonctions continues sur .
L'aire est donc donnée par . Nous obtenons alors :
Le volume est donc : .
partie b
▶ 1. Calculer un volume
Lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de 1 mètre, nous avons f(x) = 1.
D'après la question A 1., pour tout , , d'où :
.
Pour tout , donc f est strictement croissante sur [2 2e]. D'après la question A 3. c), f est continue sur [2 2e].
D'après la question A 1., f(2) = 0 et f(2e) = 2.
1 est donc compris entre f(2) et f(2e).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 1 admet une solution unique α sur [2 2e].
À l'aide de la calculatrice, on obtient , puis .
Lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de 1 mètre, le volume d'eau dans la cuve est d'environ 7 m3.
▶ 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme
L'algorithme proposé exploite la méthode de dichotomie. Tant que la condition est satisfaite, l'algorithme calcule la valeur correspondant au centre c de l'intervalle et remplace l'une des deux bornes de l'intervalle par ledit centre en analysant la condition . Lorsque la condition n'est plus satisfaite, l'algorithme affiche . On obtient ainsi une valeur approchée de la hauteur d'eau f(c) (en mètres) dans la cuve lorsque la cuve contient un volume d'eau égal à (en m3) (avec une précision d'au moins 10–3).