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Refroidissement d'un fer à cheval

France métropolitaine, mai 2022 • Jour 1

exercice 2B

Refroidissement d’un fer à cheval

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Voici un exercice sur un fer à cheval et l’étude de son refroidissement. Comment la thermodynamique peut-elle aider un maréchal-ferrant à bien ferrer son cheval ?

 

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ph © vlntn/stock.adobe.com

Le maréchal-ferrant est un artisan spécialisé dans le ferrage des chevaux ; il pose un fer sous chaque sabot du cheval afin de les protéger.

Un fer à cheval doit être parfaitement adapté à la morphologie du sabot du cheval pour que celui-ci ne se blesse pas. Cela nécessite un ensemble d’opérations réalisées lors de la pose du fer par le maréchal-ferrant : le fer est chauffé à une température d’environ 900 °C dans une forge pour être malléable. À l’aide d’un marteau, il est ensuite déformé pour s’ajuster à la forme du sabot.

Données

Température du fer à la sortie de la forge : θ0 = 900 °C.

Volume du fer à cheval : Vfer = 104 cm³.

Masse volumique du fer, supposée indépendante de la température : ρfer = 7,87 g ∙ cm–3.

Surface extérieure du fer à cheval : S = 293 cm2.

Température ambiante extérieure : θext = 15 °C.

Capacité thermique massique du fer supposée indépendante de la température : cfer = 440 J ∙ kg–1 ∙ K–1.

Loi de Newton donnant l’expression du flux thermique reçu par le système {fer à cheval}, de température θ en provenance de l’air extérieur, de température θext :

Φ = × S × ext – θ)

avec h le coefficient de transfert thermique surfacique et S la surface d’échange :

dans l’air : hair = 14 W ∙ m–2 ∙ K–1 ;

dans l’eau froide : heau = 360 W · m–2 ∙ K–1.

Partie 1. Chauffage du fer 10 min

Lors du chauffage du fer à cheval pour le rendre plus malléable, sa température passe de la température ambiante θext = 15 °C à θ0 = 900 °C.

1. Déterminer la valeur de la masse mfer du fer à cheval. (0,25 point)

2. Calculer la variation d’énergie interne ΔU du fer à cheval lors de cette étape. (0,5 point)

3. Interpréter au niveau microscopique la variation d’énergie interne ΔU du fer à cheval. (0,25 point)

Partie 2. Refroidissement du fer 40 min

Lorsque le fer est à la température souhaitée de 900 °C, le maréchal-ferrant le sort de la forge et le façonne à l’aide d’un marteau pendant une minute environ. Il s’installe ensuite près du cheval et il s’écoule à nouveau environ une minute.

Le fer, encore chaud, est alors posé quelques secondes sur la face inférieure du sabot, ce qui est sans douleur pour l’animal, mais brûle la corne en laissant une trace. Cela permet au maréchal-ferrant de juger si la forme est satisfaisante. Si c’est le cas, il refroidit rapidement le fer en le trempant dans l’eau puis le fixe définitivement sur le sabot à l’aide de clous.

Refroidissement à l’air libre

On considère que les transferts thermiques entre le fer à cheval et le milieu extérieur suivent la loi de Newton. Le système étudié est le fer à cheval.

4. Le maréchal-ferrant martèle le fer à cheval dans l’air. Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le système étudié entre les instants t et t + Δt ; la durée Δt est supposée faible devant une durée caractéristique d’évolution de la température et la température variant de θ(t) à θ(+ Δt).

En déduire que l’équation différentielle régissant l’évolution de la température du fer à cheval peut s’écrire sous la forme :

dθdt+θτ=θextτ avec τ=mfer×cferhair×S. (1,25 point)

Dans ces conditions τ = 880 s. L’équation différentielle précédente admet pour solution la fonction :

θ(t)=(θ0θext) × etτ+θext

5. Vérifier que la fonction proposée θ(t) est bien solution de l’équation différentielle précédente. (0,75 point)

6. Calculer la valeur de la température du fer au moment où le maréchal-ferrant le pose sur la face inférieure du sabot du cheval. Commenter. (0,5 point)

Refroidissement dans l’eau avant la pose

Pour accélérer le refroidissement du fer afin de le poser rapidement sur le sabot, le maréchal-ferrant plonge le fer encore chaud à la température de 600 °C dans un récipient contenant de l’eau à température ambiante de 15 °C que l’on considère comme constante.

7. En adaptant la solution obtenue dans le cadre du modèle précédent, estimer la valeur de la durée nécessaire pour que le fer soit refroidi à une température θfinale = 40 °C à laquelle l’artisan pourra poser le fer à l’aide de clous sur le sabot du cheval. (1,25 point)

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n’a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

8. Dans la réalité, 20 secondes suffisent pour refroidir le fer dans de l’eau à 15 °C. Commenter. (0,25 point)

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Chauffage du fer; ▶ 3. Souvenez-vous que l’énergie interne correspond à la somme de toutes les énergies microscopiques. Si la variation ΔU est positive, cela signifie que l’énergie interne U augmente.; Ligne 2 : Partie 2. Refroidissement du fer; ▶ 4. Appliquez le premier principe de la thermodynamique sachant que l’énergie échangée correspond uniquement au transfert thermique Q : ΔU = Q. Utilisez les relations donnant ΔU en fonction de Δθ (voir question 2) et Q = Φ × Δt, puis la loi de Newton donnée dans l’énoncé pour établir une relation entre Δθ et Δt.Rappelez-vous que, quand Δt tend vers 0, on peut assimiler ΔθΔt à dθdt.▶ 5. Souvenez-vous qu’une équation mathématique de la forme y′ = ay + b possède les solutions de la forme y(t) = K × eat – ba. Utilisez ensuite la condition initiale θ(t = 0) = θ0 pour trouver la constante K. ▶ 6. Relisez bien l’introduction de la Partie 2 pour déterminer la date à laquelle on se place.;

Aide à la résolution de la question 7

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Partie 1. Chauffage du fer

▶ 1. Déterminer la masse du fer à cheval

Nous cherchons la masse mfer du fer à cheval. Or on connaît la relation donnant la masse volumique du fer ρfer=mferVfer, d’où mfer = ρfer × Vfer.

On calcule alors : mfer = 7,87 × 104 = 8,18 × 102 g.

▶ 2. Calculer une variation d’énergie interne

La variation d’énergie interne ΔU du fer à cheval s’exprime par :

ΔU = mfer × cfer × Δθ où Δθ est la variation de température soit, ici, Δθ = θ0 – θext. Ainsi, on a : ΔU = mfer × cfer × (θ0 – θext).

Dans cette relation, la masse s’exprime en kg donc :

mfer = 8,18 × 10× 10–3 kg.

On calcule alors :

ΔU = 8,18 × 102 × 10–3 × 440 × (900 – 15) = 3,2 × 105 J.

▶ 3. Interpréter la variation d’énergie interne au niveau microscopique

À l’échelle microscopique, l’énergie interne U d’un système thermodynamique est égale à la somme des énergies microscopiques (cinétique et potentielle) de toutes les entités microscopiques qui constituent le système : U = ΣEc,micro + ΣEp,micro.

Ainsi, l’augmentation de l’énergie interne du fer à cheval traduit une augmentation des énergies microscopiques : l’agitation thermique des atomes constituant le fer à cheval et les interactions entre ces atomes augmentent.

Partie 2. Refroidissement du fer

Refroidissement à l’air libre

▶ 4. Établir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la température du fer à cheval

Dans tout ce qui suit, nous considérons que le système thermodynamique étudié est {fer à cheval} et que la durée d’étude Δt est faible par rapport à une durée caractéristique d’évolution de la température.

D’après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système, on a : ΔU = W + Q. Ici, aucun travail de force n’est mis en jeu, donc ΔU = Q.

Pour une durée Δt courte, on a : Q = Φ × Δt. Et, d’après la loi de Newton donnée dans l’énoncé, dans le cas où le thermostat est l’air, on a : Φ = hair × S × (θext – θ). Ainsi : Q = hair × S × (θext – θ) × Δt. On en déduit que ΔU = hair × S × (θext – θ) × Δt.

D’autre part, la variation d’énergie interne du fer à cheval s’écrit : ΔU = mfer × cfer × Δθ.

Ainsi, par identification des deux expressions de ΔU, on obtient :

hair × S × (θext – θ) × Δt = mfer × cfer × Δθ

Cette égalité permet d’écrire que ΔθΔt=hair×S×(θextθ)mfer×cfer

Si on pose : τ = mfer×cferhair×S , cette égalité s’écrit : ΔθΔt=1τ(θextθ)

donc ΔθΔt=1τ×θext1τ×θ et finalement : ΔθΔt+θτ=θextτ

On considère une courte durée Δt. Or si Δt tend vers 0, alors limΔt0ΔθΔt=dθdt.

Ainsi, on obtient bien l’expression proposée dans l’énoncé :

dθdt+θτ=θextτ avec τ = mfer×cferhair×S .

▶ 5. Vérifier que la fonction proposée est solution

L’équation différentielle précédente peut s’écrire sous la forme :

dθdt = θτ + θextτ

Nous l’écrivons sous la forme mathématique suivante :

θ′ = θ + ba = 1τ et b = θextτ.

à noter

En mathématiques, les solutions d’une équation différentielle de type y′ = ay + b (avec a ≠ 0) sont de la forme y(t) = K × eat – baK est une constante réelle.

Ainsi, la solution générale de cette équation différentielle est :

θ(t) = K × etτθextτ1τ = K × etτ+θext.

La constante K est déterminée en utilisant la condition initiale.

L’énoncé indique qu’à t0 = 0 s, on a : θ(t0) = θ0.

Or, d’après l’expression générale précédente, on peut écrire :

θ(t0) = K × e0τ+θext = K × 1 + θext = K + θext.

Par identification des deux expressions précédentes, on a donc :

θ0 = K + θext d’où K = θ0 – θext.

Pour conclure, la solution de l’équation différentielle s’écrit bien :

θ(t) = (θ0 – θext× etτ+θext.

Le conseil de méthode

Pour montrer que la fonction proposée est bien solution, vous auriez aussi pu l’utiliser pour calculer le membre de gauche de l’équation différentielle (dθdt+θτ) et montrer qu’il est égal au membre de droite (θextτ ).

▶ 6. Calculer une valeur de température

D’après l’énoncé, il s’écoule deux minutes entre le moment où le maréchal-ferrant sort le fer à cheval de la forge et le moment où il le pose sur le sabot du cheval.

Ainsi, pour calculer la valeur de la température demandée, on va utiliser l’expression précédente en se plaçant à l’instant t = 2 min = 120 s. Notons cette température θ2 min.

On a θ(t) = (θ0 – θext) × etτ+θext et, d’après l’énoncé, τ = 880 s.

On a donc : θ2 min = θ(t = 120 s) = (900 – 15) × e120880+15 

soit θ2 min = 7,9 × 102 °C.

La température du fer à cheval reste extrêmement élevée (près de 800 °C), ce qui risque de provoquer de graves brûlures au cheval. C’est pourquoi on envisage un refroidissement dans l’eau avant la pose.

Refroidissement dans l’eau avant la pose

▶ 7. Calculer une durée de refroidissement

Nous cherchons la durée nécessaire pour que le fer à cheval, initialement chauffé à la température θ1 = 600 °C, refroidisse dans l’eau à θext = 15 °C jusqu’à atteindre la température θfinale = 40 °C.

Commençons par calculer la nouvelle valeur de τ, dans l’eau.

En adaptant l’expression de τ donnée dans l’énoncé, on a τ = mfer×cferheau×S.

Pour la calculer, il faut exprimer la masse du fer à cheval en kg

et sa surface en m2 : mfer = 8,18 × 10 × 10–3 kg et S = 293 cm2 = 293 × (10–2)2 = 293 × 10–4 m2.

On obtient : τ = 8,18 × 102 × 103 × 440360 × 293 × 104 = 34,1 s.

Ensuite, nous utilisons l’expression de θ(t) obtenue à la question 5 pour isoler notre inconnue, la date t.

On a : θ(t) = (θ1 – θext) × etτ+θext.

Ainsi : θ(t)θext=(θ1θext)×etτd’où etτ=θ(t)θextθ1θextpuis tτ=lnθ(t)θextθ1θextet t=τ×lnθ(t)θextθ1θext

On peut alors calculer t : t = – 34,1 × ln401560015 = 108 s soit 1 minute et 48 secondes.

▶ 8. Comparer deux résultats numériques

En réalité, la durée constatée (20 s) est bien inférieure à la valeur calculée précédemment (108 s).

Plusieurs hypothèses peuvent être faites pour expliquer cette différence :

le modèle de la loi de Newton n’est pas totalement satisfaisant : le fer étant très chaud, il perd de l’énergie par rayonnement ; le flux thermique n’est donc pas seulement conducto-convectif ;

l’eau doit servir de thermostat or on peut imaginer que le récipient d’eau n’est pas si volumineux de telle sorte que la température de l’eau n’est pas constante ;

une partie de l’eau doit certainement s’évaporer au contact du fer porté à 600 °C.

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