Partie 1. Chauffage du fer

▶ 1. Déterminer la masse du fer à cheval

Nous cherchons la masse m_fer du fer à cheval. Or on connaît la relation donnant la masse volumique du fer ${\text{ρ}}_{\text{fer}}=\frac{m_{\text{fer}}}{V_{\text{fer}}}$, d’où m_fer = ρ_fer × V_fer.

On calcule alors : m_fer = 7,87 × 104 = 8,18 × 10² g.

▶ 2. Calculer une variation d’énergie interne

La variation d’énergie interne ΔU du fer à cheval s’exprime par :

ΔU = m_fer × c_fer × Δθ où Δθ est la variation de température soit, ici, Δθ = θ₀ – θ_ext. Ainsi, on a : ΔU = m_fer × c_fer × (θ₀ – θ_ext).

Dans cette relation, la masse s’exprime en kg donc :

m_fer = 8,18 × 10² × 10^–3 kg.

On calcule alors :

ΔU = 8,18 × 10² × 10^–3 × 440 × (900 – 15) = 3,2 × 10⁵ J.

▶ 3. Interpréter la variation d’énergie interne au niveau microscopique

À l’échelle microscopique, l’énergie interne U d’un système thermodynamique est égale à la somme des énergies microscopiques (cinétique et potentielle) de toutes les entités microscopiques qui constituent le système : U = ΣE_c,micro + ΣE_p,micro.

Ainsi, l’augmentation de l’énergie interne du fer à cheval traduit une augmentation des énergies microscopiques : l’agitation thermique des atomes constituant le fer à cheval et les interactions entre ces atomes augmentent.

Partie 2. Refroidissement du fer

Refroidissement à l’air libre

▶ 4. Établir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la température du fer à cheval

Dans tout ce qui suit, nous considérons que le système thermodynamique étudié est {fer à cheval} et que la durée d’étude Δt est faible par rapport à une durée caractéristique d’évolution de la température.

D’après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système, on a : ΔU = W + Q. Ici, aucun travail de force n’est mis en jeu, donc ΔU = Q.

Pour une durée Δt courte, on a : Q = Φ × Δt. Et, d’après la loi de Newton donnée dans l’énoncé, dans le cas où le thermostat est l’air, on a : Φ = h_air × S × (θ_ext – θ). Ainsi : Q = h_air × S × (θ_ext – θ) × Δt. On en déduit que ΔU = h_air × S × (θ_ext – θ) × Δt.

D’autre part, la variation d’énergie interne du fer à cheval s’écrit : ΔU = m_fer × c_fer × Δθ.

Ainsi, par identification des deux expressions de ΔU, on obtient :

h_air × S × (θ_ext – θ) × Δt = m_fer × c_fer × Δθ

Cette égalité permet d’écrire que $\frac{\text{Δ}\text{θ}}{\text{Δ}t}=\frac{h_{\text{air}}\times S\times ({\text{θ}}_{\text{ext}}-\text{θ})}{m_{\text{fer}}\times c_{\text{fer}}}$

Si on pose : τ = $\frac{m_{\text{fer}}\times c_{\text{fer}}}{h_{\text{air}}\times S }$, cette égalité s’écrit : $\frac{\text{Δ}\text{θ}}{\text{Δ}t}=\frac{1}{\text{τ}}({\text{θ}}_{\text{ext}}-\text{θ})$

donc $\frac{\text{Δ}\text{θ}}{\text{Δ}t}=\frac{1}{\text{τ}}\times {\text{θ}}_{\text{ext}}-\frac{1}{\text{τ}}\times \text{θ}$ et finalement : $\frac{\text{Δ}\text{θ}}{\text{Δ}t}+\frac{\text{θ}}{\text{τ}}=\frac{{\text{θ}}_{\text{ext}}}{\text{τ}}$

On considère une courte durée Δt. Or si Δt tend vers 0, alors $\underset{\text{Δ}t\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}\text{θ}}{\text{Δ}t}=\frac{\text{d}\text{θ}}{\text{d}t}$.

Ainsi, on obtient bien l’expression proposée dans l’énoncé :

$\frac{\text{d}\text{θ}}{\text{d}t}+\frac{\text{θ}}{\text{τ}}=\frac{{\text{θ}}_{\text{ext}}}{\text{τ}}$ avec τ = $\frac{m_{\text{fer}}\times c_{\text{fer}}}{h_{\text{air}}\times S }$.

▶ 5. Vérifier que la fonction proposée est solution

L’équation différentielle précédente peut s’écrire sous la forme :

$\frac{\text{d}\text{θ}}{\text{d}t} = –\frac{\text{θ}}{\text{τ}} + \frac{{\text{θ}}_{\text{ext}}}{\text{τ}}$

Nous l’écrivons sous la forme mathématique suivante :

θ′ = a θ + b où a = $\frac{-1}{\text{τ}}$ et b = $\frac{{\text{θ}}_{\text{ext}}}{\text{τ}}$.

Ainsi, la solution générale de cette équation différentielle est :

θ(t) = K × ${\text{e}}^{\frac{-t}{\text{τ}}}-\frac{\frac{{\text{θ}}_{\text{ext}}}{\text{τ}}}{\frac{-1}{\text{τ}}}$ = K × ${\text{e}}^{\frac{-t}{\text{τ}}}+{\text{θ}}_{\text{ext}}$.

La constante K est déterminée en utilisant la condition initiale.

L’énoncé indique qu’à t₀ = 0 s, on a : θ(t₀) = θ₀.

Or, d’après l’expression générale précédente, on peut écrire :

θ(t₀) = K × $e^{\frac{-0}{\text{τ}}}+{\text{θ}}_{\text{ext}}$ = K × 1 + θ_ext = K + θ_ext.

Par identification des deux expressions précédentes, on a donc :

θ₀ = K + θ_ext d’où K = θ₀ – θ_ext.

Pour conclure, la solution de l’équation différentielle s’écrit bien :

θ(t) = (θ₀ – ${\text{θ}}_{\text{ext}}$) × $e^{\frac{-t}{\text{τ}}}+{\text{θ}}_{\text{ext}}$.

▶ 6. Calculer une valeur de température

D’après l’énoncé, il s’écoule deux minutes entre le moment où le maréchal-ferrant sort le fer à cheval de la forge et le moment où il le pose sur le sabot du cheval.

Ainsi, pour calculer la valeur de la température demandée, on va utiliser l’expression précédente en se plaçant à l’instant t = 2 min = 120 s. Notons cette température θ_2 min.

On a θ(t) = (θ₀ – θ_ext) × $e^{\frac{-t}{\text{τ}}}+{\text{θ}}_{\text{ext}}$ et, d’après l’énoncé, τ = 880 s.

On a donc : θ_2 min = θ(t = 120 s) = (900 – 15) × $e^{\frac{-120}{880}}+\text{15 }$

soit θ_2 min = 7,9 × 10² °C.

La température du fer à cheval reste extrêmement élevée (près de 800 °C), ce qui risque de provoquer de graves brûlures au cheval. C’est pourquoi on envisage un refroidissement dans l’eau avant la pose.

Refroidissement dans l’eau avant la pose

▶ 7. Calculer une durée de refroidissement

Nous cherchons la durée nécessaire pour que le fer à cheval, initialement chauffé à la température θ₁ = 600 °C, refroidisse dans l’eau à θ_ext = 15 °C jusqu’à atteindre la température θ_finale = 40 °C.

Commençons par calculer la nouvelle valeur de τ, dans l’eau.

En adaptant l’expression de τ donnée dans l’énoncé, on a τ = $\frac{m_{\text{fer}}\times c_{\text{fer}}}{h_{\text{eau}}\times S}$.

Pour la calculer, il faut exprimer la masse du fer à cheval en kg

et sa surface en m² : m_fer = 8,18 × 10 ² × 10^–3 kg et S = 293 cm² = 293 × (10^–2)² = 293 × 10^–4 m².

On obtient : τ = $\frac{\mathrm{8,18} \times {10}^2 \times {10}^{-3} \times 440}{360 \times 293 \times {10}^{-4}}$ = 34,1 s.

Ensuite, nous utilisons l’expression de θ(t) obtenue à la question 5 pour isoler notre inconnue, la date t.

On a : θ(t) = (θ₁ – θ_ext) × $e^{\frac{-t}{\text{τ}}}+{\text{θ}}_{\text{ext}}$.

$\begin{array}{l}\text{Ainsi : }\text{θ}(t)–{\text{θ}}_{\text{ext}}=({\text{θ}}_1–{\text{θ}}_{\text{ext}})\times e^{\frac{-t}{\text{τ}}}\\ \text{d’où }{e}^{\frac{-t}{\text{τ}}}=\frac{\text{θ}(t)–{\text{θ}}_{\text{ext}}}{{\text{θ}}_1–{\text{θ}}_{\text{ext}}}\\ \text{puis }\frac{-t}{\text{τ}}=\ln \left(\frac{\text{θ}(t)–{\text{θ}}_{\text{ext}}}{{\text{θ}}_1–{\text{θ}}_{\text{ext}}}\right)\\ \text{et }t=-\text{τ}\times \ln \left(\frac{\text{θ}(t)-{\text{θ}}_{\text{ext}}}{{\text{θ}}_1–{\text{θ}}_{\text{ext}}}\right)\end{array}$

On peut alors calculer t : t = – 34,1 × $\ln \left(\frac{40-15}{600–15}\right)$ = 108 s soit 1 minute et 48 secondes.

▶ 8. Comparer deux résultats numériques

En réalité, la durée constatée (20 s) est bien inférieure à la valeur calculée précédemment (108 s).

Plusieurs hypothèses peuvent être faites pour expliquer cette différence :

le modèle de la loi de Newton n’est pas totalement satisfaisant : le fer étant très chaud, il perd de l’énergie par rayonnement ; le flux thermique n’est donc pas seulement conducto-convectif ;

l’eau doit servir de thermostat or on peut imaginer que le récipient d’eau n’est pas si volumineux de telle sorte que la température de l’eau n’est pas constante ;

une partie de l’eau doit certainement s’évaporer au contact du fer porté à 600 °C.