Réglage des feux de croisement d'une voiture

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2018 | Académie : Sujet zéro

Sujet zéro

Exercice 5 • 5 points

Réglage des feux de croisement d’une voiture

Pour régler les feux de croisement d’une automobile, on la place face à un mur vertical. Le phare, identifié au point P, émet un faisceau lumineux dirigé vers le sol.

On relève les mesures suivantes :

PA = 0,7 m, AC = QP = 5 m et CK = 0,61 m.

mat3_1600_14_00C_09

Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, le point S représente l’endroit où le rayon supérieur du faisceau rencontrerait le sol en l’absence du mur.

mat3_1600_14_00C_10

On considère que les feux de croisement sont bien réglés si le rapport QKQP est compris entre 0,015 et 0,02.

▶ 1. Vérifier que les feux de croisement de la voiture sont bien réglés.

▶ 2. À quelle distance maximale de la voiture un obstacle se trouvant sur la route est-il éclairé par les feux de croisement ?

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Thalès • Calcul fractionnaire.

Nos coups de pouce

 1. Trouve QC en considérant les propriétés du quadrilatère PQCA.

 2. Utilise le théorème de Thalès pour déterminer SC puis, par addition, trouver SA.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Le quadrilatère PQCA a trois angles droits c’est donc un rectangle. On en déduit que PA = QC et donc QK = PA – KC. Alors :

attention

Ce calcul n’est possible que parce que les points Q, K et C sont alignés.

QKQP=PAKCQP=0,70,615=0,095=0,018.

Ce quotient étant bien compris entre 0,015 et 0,02, les feux de la voiture sont bien réglés.

▶ 2. Il s’agit de calculer AS.

Calculons d’abord SC :

Les droites (PS) et (QC) sont sécantes en K.

rappel

N’oublie pas de justifier que les droites (PQ) et (CA) sont parallèles !

Les droites (PQ) et (CA) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à la même droite (QC).

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

QKKC=PKKS=QPSC.

Donc :

0,090,61=PKKS=5SC

SC = 0,61×50,0933,9m.

Or SA = SC + CA 33,9 + 5.

Donc SA38,9m.