Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Afrique
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes
 
 

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

25

Ens. Spécifique

matT_1306_01_03C

 

Afrique • Juin 2013

Exercice 2 • 5 points

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

  • 15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
  • Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.
  • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

On désigne par E l’événement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation » et par V l’événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L’événement contraire de l’événement A sera noté .

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

>1. Traduire les trois données de l’énoncé en termes de probabilités. (1 point)

>2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

>3. Définir par une phrase l’événement  puis calculer sa probabilité. (0,5 point)

>4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205. (1 point)

>5. Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. Calculer la probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. (1 point)

>6. Des producteurs, interrogés lors de l’enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu’il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l’exploitation agricole et 3,40 euros dans les supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu’ils peuvent prévoir. (1 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle.

Les conseils du correcteur

>4. Les sacs contenant des pommes de variétés différentes ont été vendus dans l’exploitation agricole ou dans des supermarchés ; utilisez une partition de l’univers.

>5. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

>6. Calculez, parmi les 45 000 sacs disponibles, le nombre de sacs vendus sur l’exploitation et le nombre de sacs vendus dans des supermarchés.

Corrigé

>1. Traduire des données en termes de probabilités

  • Puisque 15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés :

 

Notez bien

Ces deux probabilités sont des probabilités conditionnelles « sachant l’événement E réalisé ».

  • La deuxième donnée « parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes » se traduit par :

  • La dernière donnée « parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes » se traduit par :

>2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être traduite par l’arbre pondéré suivant :


 

>3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

 

Info

Dans un arbre pondéré, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches constituant le chemin.

L’événement est « le sac est vendu sur l’exploitation et contient des pommes de variétés différentes ».

Sa probabilité peut être calculée à partir de l’arbre :

>4. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

 

Notez bien

Le calcul de est semblable à celui de fait à la question précédente.

La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est .

Puisque E et constituent une partition de l’univers :

.

D’où  soit :

>5. Calculer une probabilité conditionnelle

Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. La probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole est .

est non nulle, donc, après la définition d’une probabilité conditionnelle :

.

À 0,001 près :

>6. Calculer un montant à partir d’une répartition en pourcentages

D’après les données de l’énoncé, 15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole, 85 % des sacs sont vendus dans des supermarchés.

Puisque les producteurs disposent de 45 000 sacs, 6 750 sacs sont vendus sur l’exploitation, 38 250 sacs sont vendus dans des supermarchés.

Le montant total des ventes est donc, en euros :

Les producteurs peuvent donc prévoir des ventes d’un montant total de 135 450 €.