Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
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Ens. Spécifique
matT_1306_01_03C
Afrique • Juin 2013
Exercice 2 • 5 points
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
- 15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
- Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
- Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
On désigne par E l'événement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».
L'événement contraire de l'événement A sera noté 
.
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
puis calculer sa probabilité. (0,5 point)
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir. (1 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle.
Les conseils du correcteur
> 1. Traduire des données en termes de probabilités
- Puisque 15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés :
Notez bien
Ces deux probabilités sont des probabilités conditionnelles « sachant l'événement E réalisé ».
- La deuxième donnée « parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes » se traduit par :
- La dernière donnée « parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes » se traduit par :
> 2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :
> 3. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
Info
Dans un arbre pondéré, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches constituant le chemin.
L'événement 
est « le sac est vendu sur l'exploitation et contient des pommes de variétés différentes ».
Sa probabilité peut être calculée à partir de l'arbre :
> 4. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition de l'univers
Notez bien
Le calcul de 
est semblable à celui de 
fait à la question précédente.
La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est 
.
Puisque E et 
constituent une partition de l'univers :
.
D'où 
soit :
> 5. Calculer une probabilité conditionnelle
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. La probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole est 
.
est non nulle, donc, après la définition d'une probabilité conditionnelle :
.
À 0,001 près :
> 6. Calculer un montant à partir d'une répartition en pourcentages
D'après les données de l'énoncé, 15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole, 85 % des sacs sont vendus dans des supermarchés.
Puisque les producteurs disposent de 45 000 sacs, 6 750 sacs sont vendus sur l'exploitation, 38 250 sacs sont vendus dans des supermarchés.
Le montant total des ventes est donc, en euros :
