Rendez-vous au lycée

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Rendez-vous au lycée

Lois de probabilité à densité

matT_1405_09_05C

Ens. spécifique

30

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 1 • 5 points

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4 % des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5 % des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l’événement « l’élève se rend au lycée à vélo », B l’événement « l’élève se rend au lycée en bus » et R l’événement « l’élève arrive en retard au lycée ».

>1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

>2. Déterminer la probabilité de l’événement .

>3. Démontrer que la probabilité de l’événement R est 0,0192.

>4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus ?

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type .

>1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.

>2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée ?

>3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de 0,9 ? Arrondir le résultat à la minute près.

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type . On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.

On note la variable aléatoire égale à

>1. Quelle loi la variable aléatoire suit-elle ?

>2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l’écart type de la variable aléatoire .

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale  E40d • E40e  → Partie B, 1. à 3. ; partie C, 1. et 2.
  • Calculs de probabilités  E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 2. à 4. ; Partie B, 1. à 3.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3 Partie B, 1. à 3. ; Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>3. Calculez , puis et Interprétez ces probabilités et concluez.

Partie C

>2. Justifier que est équivalent à . Puis, utilisez une calculatrice pour conclure en prenant bien en compte la précision demandée pour la valeur approchée de l’écart type.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Construire un arbre pondéré

  • Premier niveau de l’arbre : « moyen de transport »

L’élève prend le vélo 7 jours sur 10. Par suite, la probabilité que l’événement V se réalise est 0,7.

Comme le reste du temps cet élève prend le bus, l’événement B est l’événement contraire de l’événement V et on a :

.

  • Deuxième niveau de l’arbre : « arrivée au lycée »

Si l’élève prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4 % des cas. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement V est réalisé est : .

Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud V) est égale à 1,

.

Si l’élève prend le bus, il arrive en retard dans 5 % des cas. Par suite, la probabilité que l’événement R se réalise sachant que l’événement B est réalisé est : Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1,

.


>2. Calculer la probabilité d’une intersection

Par propriété (probabilité d’une feuille), la probabilité de l’événement est le produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui aboutit à la feuille . Ainsi, nous avons :

.

La probabilité que cet élève prenne le vélo et qu’il arrive en retard à son lycée est

>3. Calculer la probabilité d’un événement

L’événement R est associé à deux feuilles : et . Par conséquent (formule des probabilités totales), la probabilité de l’événement R est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité que cet élève arrive en retard à son lycée est 0,0192.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à déterminer est la probabilité que l’élève se soit rendu à son lycée en bus sachant qu’il est arrivé en retard à son lycée. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

.

Notez bien !

Un dix millième correspond à .

Les probabilités devant être arrondies au dix millième, nous avons : .

partie b : le vélo

>1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale

La probabilité que cet élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée s’écrit à l’aide de la variable aléatoire de la manière suivante : Nous pouvons en déterminer directement une valeur approchée à l’aide d’une calculatrice :


CASIO Graph 75


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Les probabilités devant être arrondies au dix millième, nous avons :

>2. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale

L’élève part de son domicile à vélo à 7 h 40 et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il sera alors en retard si son temps de parcours à vélo est supérieur à 20 minutes. Par conséquent, la probabilité demandée est

Nous pouvons en déterminer une valeur approchée à l’aide d’une calculatrice :


CASIO Graph 75


TI-83 Plus.fr



Les probabilités devant être arrondies au dix millième, nous avons :

>3. Déterminer une valeur sous contrainte

  • Si l’élève part de son domicile à 7 h 40, la probabilité qu’il ne soit pas en retard à son lycée est la probabilité que son trajet n’excède pas 20 minutes :

  • De même, si l’élève part de son domicile à 7 h 41, la probabilité qu’il ne soit pas en retard à son lycée est la probabilité que son trajet n’excède pas 19 minutes :

  • De même, si l’élève part de son domicile à 7 h 42, la probabilité qu’il ne soit pas en retard à son lycée est la probabilité que son trajet n’excède pas 18 minutes :

L’élève doit partir entre 18 et 19 minutes avant 8 h afin d’arriver à l’heure à son lycée avec une probabilité de 0,9. Le résultat devant être donné à la minute près, nous en concluons que cet élève doit partir avant 7 h 41.

partie c : le bus

>1. Déterminer une loi de probabilité

Comme (espérance de la variable aléatoire ), la variable aléatoire s’écrit :

Notez bien

Pour la loi normale centrée réduite, et .

Comme suit la loi normale d’espérance et d’écart type , alors par définition, la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

>2. Déterminer un écart type

  • D’après l’énoncé, la probabilité que l’élève mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05. Ce qui s’écrit à l’aide de la variable aléatoire  : Or :

  • Déterminons une valeur approchée de l’écart type à l’aide d’une calculatrice.


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Éditeur de fonctions




Réglage de la table (début de table, pas de table)




Lecture de la table



Notez bien

Un écart type est un nombre réel strictement positif.

Une valeur approchée à 0,01 près de l’écart typede la variable aléatoireest 3,04.