Rendez-vous au lycée

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Rendez-vous au lycée

Lois de probabilité à densité

matT_1405_09_05C

Ens. spécifique

30

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 1 • 5 points

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8  h  00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport  : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8  h  00 à son lycée. Il prend le vélo 7  jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4  % des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5  % des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l’événement «  l’élève se rend au lycée à vélo  », B l’événement «  l’élève se rend au lycée en bus  » et R l’événement «  l’élève arrive en retard au lycée  ».

>1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

>2. Déterminer la probabilité de l’événement .

>3. Démontrer que la probabilité de l’événement R est 0,0192.

>4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus  ?

Partie B  : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type .

>1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20  minutes pour se rendre à son lycée.

>2. Il part de son domicile à vélo à 7  h  40. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée  ?

>3. L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de 0,9  ? Arrondir le résultat à la minute près.

Partie C  : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance et d’écart type . On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20  minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.

On note la variable aléatoire égale à

>1. Quelle loi la variable aléatoire suit-elle  ?

>2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l’écart type de la variable aléatoire .

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi normale   E40d • E40e  → Partie B, 1. à 3.partie C, 1. et 2.
  • Calculs de probabilités   E34 • E35 • E37 • E40a  → Partie A, 2. à 4.Partie B, 1. à 3.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale   C3  Partie B, 1. à 3.Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>3. Calculez , puis et Interprétez ces probabilités et concluez.

Partie C

>2. Justifier que est équivalent à . Puis, utilisez une calculatrice pour conclure en prenant bien en compte la précision demandée pour la valeur approchée de l’écart type.