SPÉCIALITÉ

Son et musique

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Afrique • Juin 2016

Exercice 3 • 5 points • ⏱ 50 min

Rénovation d'un amphithéâtre

Les thèmes clés

Son et architecture

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Amphithéâtre rénové, université de Rennes 2

Saint-Jacques-de-la-Lande (35)

Un amphithéâtre doit être rénové pour améliorer ses qualités acoustiques dans l'objectif de la tenue de conférences.

Pour cela, il est proposé d'effectuer des aménagements au niveau du plafond.

Caractéristiques de l'amphithéâtre :

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Dimensions : longueur L = 15,0 m largeur l = 11,0 m hauteur maximale : h = 8,5 m.

Surface totale (murs, plafonds et sol) : 634 m2

Inclinaison du plancher : 21°

Temps de réverbération global (sans distinction de fréquences) : 1,7 s

Le plafond est en béton.

La valeur du coefficient d'absorption moyen des matériaux constituant le sol et les murs est égale à 0,17.

document 1 Coefficient d'absorption acoustique

Chaque matériau peut être caractérisé par son coefficient d'absorption acoustique α, dépendant de la fréquence. Les valeurs de coefficient d'absorption acoustique moyen pour quelques matériaux courants sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

Matériau	Moquette	Béton	Plâtre	Mousse	Bois
α	0,26	0,050	0,040	0,60	0,10

document 2 Temps de réverbération

Le temps de réverbération global TR d'une salle est le temps au bout duquel le niveau d'intensité sonore diminue de 60 dB.

Selon la théorie de Sabine, son expression est donnée par :

TR = 0,16 $\frac{V}{A}$

où :

TR est exprimé en s,

V est le volume de la salle en m3,

A est l'aire équivalente en m2, définie par :

$A = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} S_{i}$

avec $α_{i}$ coefficient d'absorption moyen du matériau recouvrant la surface Si.

document 3 Temps de réverbération optimal pour des fréquences comprises entre 500 Hz et 1 000 Hz

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D'après le site www.insa-lyon.fr

1 Montrer que la valeur de l'aire équivalente A de l'amphithéâtre avant travaux est égale à 88 m2. L'aire équivalente est définie dans le document 2, avec le temps de réverbération. (1,5 point)

2 Est-il possible de rénover le plafond de cet amphithéâtre afin de permettre la tenue de conférences dans de bonnes conditions acoustiques en utilisant l'un des matériaux proposés dans la liste du document 1 ? Justifier de façon précise la réponse. (3,5 point)

Le candidat est évalué sur sa capacité à analyser les documents, à mettre en œuvre une démarche de résolution et à présenter ses résultats de manière adaptée.

Toutes les prises d'initiative et toutes les tentatives de résolution, même partielles, seront valorisées.

Les clés du sujet

Comprendre les documents

À partir du plan de la salle, vous pouvez calculer la surface des murs, du sol et du plafond, ainsi que V (question 1).

À partir des coefficients de cinq matériaux différents, vous pouvez calculer A, but de la question 1.

Le document 2 donne deux formules : celle du temps de réverbération (TR) et celle de l'aire équivalente (A).

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Le document 3 est un graphique reliant TR = f(V) suivant l'usage de la salle : salle de conférences, théâtre, cinéma, etc. Ce sera utile pour la résolution de la question 2.

Répondre à la question préalable

1 Deux méthodes sont possibles.

Vous pouvez calculer la somme des surfaces de toutes les parois, puis utiliser la formule A = $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} S_{i}$ donnée dans le document 2.

Ou alors, vous déterminez le volume de la salle puis utilisez la formule de Sabine : TR = 0,16 × $\frac{V}{A}$ . Attention à l'angle de 21° : le sol est incliné. Le TR de l'amphithéâtre est donné dans l'énoncé.

Construire le raisonnement

2 La rénovation du plafond a pour objectif de réduire le temps de réverbération TR de l'amphithéâtre. Vous devez donc déterminer quel est le matériau le plus approprié. Vous devez procéder par étapes.

Si vous ne l'avez pas fait pour répondre à la question 1, commencez par calculer le volume de la pièce.

À partir de la valeur trouvée, reportez-vous au document 3 pour connaître le TR requis pour une salle de conférences.

Grâce à ce TR, calculez l'aire équivalente A visée.

Déterminez alors le coefficient d'absorption α du matériau qu'il faudrait employer pour rénover le plafond.

Enfin, comparez ce coefficient avec ceux des matériaux proposés dans le document 1.

Corrigé

1 Calculer une aire équivalente

1re méthode de résolution

On peut calculer l'aire équivalente A à l'aide des valeurs de surfaces des matériaux et de la formule :

$A = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} S_{i}$

Les surfaces de la pièce sont les murs, le sol et le plafond, donc :

A = αbétonSplafond + αmoyenSsol et murs

On a :

Splafond = L × l = 165 m2

Ssol et murs = Stotale - Splafond = Stotale - L × l = 634 – 165 = 469 m2

• αbéton = 0,050 et αmoyen = 0,17

Donc : A = 0,050 × 165 + 0,17 × 469 = 88 m2

L'aire équivalente avant travaux est bien 88 m2.

2de méthode de résolution

L'aire équivalente A se calcule à l'aide de la relation donnée dans le document 2 :

TR = 0,16 × $\frac{V}{A}$

D'où A = 0,16 × $\frac{V}{T_{R}}$ dans laquelle V est le volume de la salle.

Le temps de réverbération TR de la salle est mentionné dans l'énoncé : 1,7 s.

Il faut donc calculer le volume de la salle et celle-ci a une forme particulière ! Pour cela, on peut calculer le volume d'une pièce rectangulaire globale L × l × h à laquelle on retranche la partie bleue en dessous du sol (voir schéma ci-après).

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Pour calculer le volume bleu, il faut calculer la hauteur x. On sait que :

tan(21°) = $\frac{x}{L}$ d'où x = L tan(21°).

Attention !

Si vous calculez la valeur intermédiaire du volume V, vous trouvez V = 927,47… m3. Donc, écrivez V = 9,3 × 102 m3 avec deux chiffres significatifs car la donnée h ne comporte que deux chiffres significatifs. Mais pour calculer ensuite A = 0,16 $\frac{V}{T_{R}}$ vous devez utiliser la totalité des chiffres significatifs de V.

Le volume de la partie bleue est égal à la moitié du volume du pavé de hauteur x et de largeur et longueur l et L :

Vbleue = $\frac{1}{2}$ x × l × L

D'où le volume de la pièce est :

$V = l h L - \frac{1}{2} x l L$

$\begin{matrix} A = 0,16 \times \frac{V}{T_{R}} = 0,16 \times \frac{l h L - \frac{1}{2} x l L}{T_{R}} \\ A = 0,16 \times \frac{l h L - \frac{1}{2} \tan (21 °) l L^{2}}{T_{R}} \\ A = 87 m^{2} \end{matrix}$

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On obtient donc ici A = 87 m2.

2 Le problème posé consiste à déterminer le matériau de revêtement de plafond le plus approprié pour la nouvelle destination de l'amphithéâtre. Pour résoudre ce problème, on peut utiliser la notion d'aire équivalente.

Calculer le volume de l'amphithéâtre

Si vous n'avez pas déterminé le volume de la salle dans la question 1, il faut le déduire de la formule de Sabine :

TR = 0,16 × $\frac{V}{A}$ d'où A = 0,16 × $\frac{V}{T_{R}}$

donc V = A × $\frac{T_{R}}{0,16} = \frac{88 \times 1,7}{0,16}$

V = 9,3 × 102 m3

Déterminer le temps de réverbération requis pour une salle de conférences

Attention !

Ici l'axe horizontal (abscisses) est logarithmique. Pour déterminer l'abscisse, lisez 1, 2, 3 jusqu'à 10, puis 20, 30, 40 jusqu'à 100, 200, 300 jusqu'à 1 000, et ainsi de suite.

En utilisant le graphique donnant le temps de réverbération en fonction du volume de la salle (document 3), on détermine le temps de réverbération optimal pour une salle de conférences de 930 m3. On lit que l'ordonnée correspondant à l'abscisse 930 m3 est 0,80 s. Donc TR rénovée = 0,80 s.

Pour que la salle rénovée puisse servir de salle de conférences, il faut descendre à un temps de réverbération de 0,80 seconde (avant travaux il était de 1,7 s).

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Calculer la nouvelle aire équivalente A

La valeur de ce TR permet de calculer l'aire équivalente visée après rénovation :

Arénovée = $0,16 \frac{V}{T_{R rénovée}} = 0,16 \times \frac{927,47}{0,8} = 185 m^{2}$

Déterminer le coefficient d'absorption du matériau souhaité

De plus, d'après l'énoncé, on peut calculer l'aire équivalente A avec une autre formule :

$A = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} S_{i}$

Dans cette relation, on peut connaître les valeurs de toutes les surfaces (murs, plafond et sol). En revanche, les valeurs des coefficients αi dépendent de la matière de chacune de ces surfaces. L'énoncé ne décrit pas explicitement les matériaux utilisés pour le sol et les murs, mais il donne une valeur moyenne du coefficient d'absorption pour les murs et le sol.

La surface équivalente de la salle rénovée sera alors :

Arénovée = αnouveau matériauSplafond + αsolSsol + αmursSmurs

Arénovée = αnouveau matériauSplafond + αmoyenSsol et murs

La seule inconnue dans cette relation est αnouveau matériau. On peut s'en servir pour déterminer la valeur de ce coefficient pour obtenir le temps de réverbération d'une salle de conférences :

αnouveau matériauSplafond = A - αmoyenSsol et murs

$α_{nouveau matériau} = \frac{A_{rénovée} - α_{moyen} S_{sol et murs}}{S_{plafond}}$

$α_{nouveau matériau} = \frac{185 - 0,17 \times S_{sol et murs}}{L \times l}$

À retenir

Le sous-thème « Son et architecture » et les calculs d'aire équivalente sont un des classiques de la spécialité physique. Dans ces calculs, n'oubliez pas de faire tout le tour de la pièce : les murs, le sol, le plafond mais aussi les « meubles » !

Pour déterminer la surface des murs et du sol, on peut faire :

Ssol et murs = surface totale – surface du plafond

Ssol et murs = 634 – (l × L) = 634 – 165 = 469 m2

On obtient enfin :

$α_{nouveau matériau} = \frac{185 - 0,17 \times 469}{165} = 0,64$

La valeur optimale du coefficient d'absorption acoustique dans ce cas de figure est de 0,64.

Choisir le matériau approprié à l'aide du coefficient d'absorption trouvé

Il nous faudrait un coefficient d'absorption égal à 0,64, ce qui ne se trouve pas dans le tableau des matériaux proposés. Le plus près de cette valeur est la mousse. Calculons la valeur du temps de réverbération TR avec ce matériau :

TR = 0,16 × $\frac{V}{A}$ avec A = αmousseSplafond + αmoyenSsol et murs

A = 0,60 × 165 + 0,17 × 469 = 178,73

TR = 0,16 × 927,47/178,73 = 0,83

Avec la mousse comme matériau, nous obtenons un temps de réverbération TR de 0,83 s. Est-ce compatible avec nos résultats ? (Il faut surtout questionner la précision des données ici.)

Nous avions déterminé un temps de réverbération égal à 0,80 s et, avec l'hypothèse de la mousse au plafond, nous obtenons 0,83 s. Le graphique donné ne permet pas une grande précision, donc nous pouvons penser que la rénovation est possible en mettant de la mousse au plafond.

Étant donné que ces calculs ont été faits avec une salle vide, ce temps de réverbération sera plus court lorsqu'on installera le mobilier (sièges, estrade éventuelle et matériel audio). En effet, plus il y a de relief dans une salle, plus le temps de réverbération TR est petit. Nous pourrions donc ainsi nous rapprocher de la valeur de 0,80 s.

Variantes de résolution possibles

Calculer les surfaces d'absorption avec les cinq matériaux proposés (au lieu de discuter à partir du plus approchant de l'idéal calculé) et conclure.

Prendre la mousse comme revêtement pour faire les calculs de TR car c'est le matériau qui a le coefficient d'absorption α le plus grand, donc celui qui sera à privilégier, puis conclure par rapport au résultat trouvé.

Évaluez-vous !

Après avoir comparé vos réponses au corrigé, vérifiez que vous remplissez les principaux critères de réussite.

J'ai bien utilisé les deux formules donnant A.

J'ai déterminé correctement le TR à l'aide du graphique.

J'ai calculé correctement le volume V de la pièce.

J'ai calculé correctement l'aire équivalente A avant et après rénovation.

J'ai choisi un matériau cohérent avec le résultat de coefficient d'absorption (α  αrénové).

Rénovation d'un amphithéâtre

Comprendre les documents

Répondre à la question préalable

Construire le raisonnement

1 Calculer une aire équivalente

Calculer le volume de l'amphithéâtre

Déterminer le temps de réverbération requis pour une salle de conférences

Calculer la nouvelle aire équivalente A

Déterminer le coefficient d'absorption du matériau souhaité

Choisir le matériau approprié à l'aide du coefficient d'absorption trouvé

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