Répartition d’acheteurs suivant le mode d’achat : par Internet ou en magasin

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 4 • 5 points

Répartition d’acheteurs suivant le mode d’achat : par Internet ou en magasin

Une étude statistique sur une population d’acheteurs a montré que :

90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.

60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.

Dans toute la suite de l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :

an la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat sur Internet ;

bn la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat en magasin.

On suppose de plus que a1=1 et b1=0.

On note Pn=(anbn) l’état probabiliste correspondant au n-ième achat.

Ainsi P1=(10).

On note :

A l’état « La personne effectue son achat sur Internet » ;

B l’état « La personne effectue son achat en magasin ».

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

3. a) Calculer la matrice M4. (0,5 point)

b) En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est égale à 0,8125. (0,5 point)

4. On note P=(ab) l’état stable associé à ce graphe.

a) Montrer que les nombres a et b sont solutions du système : (0,5 point)

{0,1a0,4b=0a+b=1

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet ? (0,25 point)

5. a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a :

an+1=0,5 an+0,4. (0,5 point)

b) Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que an0,801. (0,75 point)

Variables :

N est un entier naturel

A est un nombre réel

Initialisation :

Affecter à N la valeur 1

Affecter à A la valeur 1

Traitement :

Tant que ......................

Affecter à A la valeur 0,5×A+0,4

Affecter à N la valeur ...................

Fin Tant que

Sortie :

Afficher n

c) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

2. M est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes ; la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

3. b) La probabilité cherchée est a5.

4. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne P dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que PM=P.

5. a) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel n non nul, an+bn=1.

c) L’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que A0,801.

Corrigé

Corrigé

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

matT_1604_12_00C_07

2. Écrire la matrice de transition associée à un graphe

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n :

{an+1=0,9 an+0,4 bnbn+1=0,1 an+0,6 bn

soit :

(an+1bn+1)=(anbn)(0,90,10,40,6).

La matrice de transition associée au graphe précédent est donc :

M=(0,90,10,40,6).

3. a) Calculer une puissance d’une matrice carrée

Avec la calculatrice, on obtient :

M4=(0,81250,18750,750,25).

b) Calculer une probabilité associée à un graphe probabiliste

La probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est a5.

P5=(a5b5)=P1×M4=(10) (0,81250,18750,750,25)=(0,81250,1875).

La probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est 0,8125.

4. a) Écrire un système d’équations permettant de déterminer l’état stable associé à un graphe

Notez bien

L’état stable existe car la matrice de transition ne comporte aucun coefficient nul. Il est indépendant de l’état initial.

Puisque P=(ab) est l’état stable associé au graphe, alors :

PM=P ;

a+b=1.

PM=P(ab)(0,90,10,40,6)=(ab){0,9a+0,4b=a0,1a+0,6b=b0,1a0,4b=0.

Donc le couple (a;b) vérifie le système (S):

{0,1a0,4b=0a+b=1

b) Résoudre un système d’équations

(S){b=1a0,1a0,4 (1a)=0{0,5a0,4=0b=1a{a=0,8b=0,2

Info

Le résultat signifie que l’état stable associé au graphe est P=(0,80,2).

Le système (S){0,1a0,4b=0a+b=1 a pour solution le couple :

(0,8;0,2).

c) Déterminer une probabilité « à long terme »

À long terme, la probabilité que la personne interrogée fasse ses achats sur Internet est a, c’est-à-dire 0,8.

5. a) Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite

D’après la question 2., pour tout entier naturel n non nul :

an+1=0,9 an+0,4 bn.

Or an+bn=1, donc bn=1an.

Donc, pour tout entier naturel non nul :

an+1=0,9 an+0,4 (1an)

an+1=0,9an+0,40,4an

an+1=0,5 an+0,4.

b) Compléter un algorithme

Pour que l’algorithme affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que an0,801, on peut le compléter de la manière suivante :

Variables :

N est un entier naturel

A est un nombre réel

Initialisation :

Affecter à N la valeur 1

Affecter à A la valeur 1

Traitement :

Tant que A>0,801

Affecter à A la valeur 0,5×A+0,4

Affecter à N la valeur N+1

Fin Tant que

Sortie :

Afficher N

c) Déterminer la valeur affichée en sortie d’un algorithme

Info

Cet affichage signifie que le plus petit entier n tel que an0,801 est n=9.

À l’aide de la calculatrice, on peut calculer une valeur approchée de a2, a3, a8 et vérifier qu’ils sont tous strictement supérieurs à 0,801 ; on a ensuite a90,80078, donc :

a9<0,801.

En programmant cet algorithme à la calculatrice, on obtient en sortie :

n=9.