Répartition d’automobilistes à une gare de péage et étude de leur vitesse

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 1 • 5 points

Répartition d’automobilistes à une gare de péage et étude de leur vitesse

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes ;

52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ;

les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

G : « l’automobiliste emprunte la voie de gauche » ;

C : « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ;

D : « l’automobiliste emprunte la voie de droite » :

T : « l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note T¯ l’événement contraire de l’événement T.

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (1 point)

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. Calculer la probabilité p(CT). (0,5 point)

3. L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

a) Justifier que p(DT)=0,03. (1 point)

b) Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. (1 point)

partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l’autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h–1.

On admet que V suit la loi normale d’espérance μ=120 et d’écart-type σ=7,5.

1. Déterminer la probabilité p(120<V<130). On arrondira le résultat au millième. (0,5 point)

2. Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h–1.

Déterminer la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. a) Utilisez une partition de l’univers, correspondant à la répartition des automobilistes entre les trois voies de la gare de péage.

b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Représenter une situation par un arbre pondéré

Notez bien

Les automobilistes empruntant la voie de gauche passent tous le péage en moins de 10 secondes, donc une seule branche part du « nœud » G.

La situation peut être résumée par l’arbre suivant (probabilités indiquées en noir) :

matT_1606_02_00C_03

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

p(CT)=p(C)×pC(T)=0,52×0,75.

p(CT)=0,39.

3. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’énoncé, 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes, donc :

p(T)=0,7.

Info

Ces trois événements sont deux à deux incompatibles, et leur réunion est l’univers entier. On dit aussi qu’ils forment un « système complet d’événements ».

Les événements G, C et D forment une partition de l’univers, donc :

p(T)=p(GT)+p(CT)+p(DT).

p(DT)=p(T)p(GT)p(CT).

Or p(GT)=p(G)×pG(T).

Tous les automobilistes qui empruntent la voie de gauche passent le péage en moins de 10 secondes, donc :

pG(T)=1 et p(GT)=p(G)=0,28,

d’où :

p(DT)=0,70,280,39

p(DT)=0,03.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est pD(T). D’après le cours :

pD(T)=p(DT)p(D)=0,030,2=0,15.

Info

On peut aussi dire que, parmi les automobilistes empruntant la voie de droite, 15 % passent le péage en moins de 10 secondes.

La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,15.

Ce calcul permet de compléter l’arbre pondéré fait au début de l’exercice.

partie B

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice, en arrondissant au millième :

p(120<V<130)=0,409.

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné est p(V138).

La variable aléatoire V suit une loi normale d’espérance 120, d’où :

p(V138)=p(V120)p(120X138)0,50,492=0,008.

Arrondie au millième, la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné est égale à 0,008.