Annale corrigée Exercice Ancien programme

Répartition des abonnés d'une salle de sport entre trois activités

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Répartition des abonnés d'une salle de sport entre trois activités

Les thèmes clés

Matrice • Graphe probabiliste.

 

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées : Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D'une semaine sur l'autre, les abonnés peuvent changer d'activité.

Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.

D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

Si l'abonné était en Pilates, la semaine suivante, il conserve Pilates dans 30 % des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.

Si l'abonné était en Step, la semaine suivante, il conserve Step dans 30 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.

Si l'abonné était en Zumba, la semaine suivante, il conserve Zumba dans 20 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.

Soit En =(pnsnzn) la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, n semaines après le 1er septembre 2015.

1. Donner, sans justification, la matrice E0. (0,5 point)

2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z. (0,75 point)

3. On donne M la matrice carrée 3 × 3 de transition respectant l'ordre P, S et Z :

M=(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2).

a) Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M. (0,25 point)

b) Calculer E1. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines. (0,5 point)

4. Peut-on affirmer, à 102 près, qu'au bout de six semaines environ 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité ? (0,75 point)

5. Au 1er septembre 2015, on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, huit semaines après cette date ? (0,75 point)

6. a) Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E correspondant à l'état probabiliste stable. (0,5 point)

b) Vérifier cette conjecture. (0,5 point)

Les clés du sujet

1. La matrice E0 décrit la répartition des abonnés entre les trois activités au 1er septembre 2015.

5. La répartition des abonnés après huit semaines est décrite par la matrice ligne E8.

6. L'état probabiliste stable est l'état à partir duquel il n'y a plus d'évolution. Il est représenté par la matrice ligne E telle que EM = E.

Corrigé

1. Donner la matrice ligne décrivant un état probabiliste

E0=(0,10,850,05)

2. Traduire une situation par un graphe probabiliste

D'après les données de l'énoncé, on peut traduire la situation par le graphe suivant :

matT_1609_04_00C_06

3. a) Préciser la signification d'un coefficient d'une matrice

D'après l'énoncé, si l'abonné était en Step une semaine donnée, la semaine suivante, il choisit Pilates dans 50 % des cas.

Le coefficient 0,5, situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de la matrice M, représente la probabilité qu'un abonné qui était en Step passe en Pilates la semaine suivante.

b) Calculer un état probabiliste

E1 = E0 × M

E1=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)

E1=(0,4650,2950,24)

c) Déterminer la répartition des abonnés entre trois activités au bout de trois semaines

La répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines est donnée par la matrice E3 :

E3=E0×M3

E3=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)3

E3=(0,31720,34880,334).

On peut prévoir qu'au bout de trois semaines 31,72 % des abonnés seront en Pilates, 34,88 % seront en Step et 33,4 % seront en Zumba.

4. Déterminer la répartition des abonnés entre trois activités au bout de six semaines

De même qu'à la question précédente, la répartition prévisible dans chaque activité au bout de six semaines est donnée par la matrice E6 :

E6=E0×M6

E6=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)6

E6=(0,33270,33340,3339) en arrondissant à 104.

On peut affirmer, à 102 près, qu'au bout de six semaines, environ 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

5. Déterminer le nombre d'abonnés dans chacune des trois activités au bout de huit semaines

La répartition prévisible dans chaque activité au bout de huit semaines est donnée par la matrice E8 :

E8=E0×M8

E8=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)8

E8=(0,33340,33330,3333) en arrondissant à 104.

D'autre part, on considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année, donc on compte toujours 120 abonnés huit semaines après le 1er septembre 2015.

120 × 0,3334 40  120 × 0,3333 40.

Huit semaines après le 1er septembre 2015, on peut donc prévoir 40 abonnés dans chaque activité.

6. a) Conjecturer un état probabiliste stable

D'après les questions précédentes, au bout d'un certain nombre de semaines, il semble que 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

On peut conjecturer que la matrice ligne E correspondant à l'état probabiliste stable est :

E=(131313)

notez bien

Quelle que soit la répartition initiale, cette répartition évolue vers une égale répartition entre les trois activités.

b) Vérifier une conjecture

On pose E=(131313).

E est une matrice ligne dont la somme des trois coefficients est égale à 1.

D'autre part :

E×M=(131313)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)

E×M=(131313).

La somme des coefficients de E est égale à 1 et E × M = E, donc l'état probabiliste stable est :

E=(131313)

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner