Répartition des abonnés d’une salle de sport entre trois activités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Répartition des abonnés d’une salle de sport entre trois activités

Les thèmes clés

Matrice • Graphe probabiliste.

 

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées : Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D’une semaine sur l’autre, les abonnés peuvent changer d’activité.

Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.

D’après l’analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d’une semaine sur l’autre :

Si l’abonné était en Pilates, la semaine suivante, il conserve Pilates dans 30 % des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.

Si l’abonné était en Step, la semaine suivante, il conserve Step dans 30 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.

Si l’abonné était en Zumba, la semaine suivante, il conserve Zumba dans 20 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.

On considère qu’il n’y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l’année.

Soit En =(pnsnzn) la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, n semaines après le 1er septembre 2015.

1. Donner, sans justification, la matrice E0. (0,5 point)

2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z. (0,75 point)

3. On donne M la matrice carrée 3 × 3 de transition respectant l’ordre P, S et Z :

M=(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2).

a) Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M. (0,25 point)

b) Calculer E1. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines. (0,5 point)

4. Peut-on affirmer, à 102 près, qu’au bout de six semaines environ 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité ? (0,75 point)

5. Au 1er septembre 2015, on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d’abonnés dans chaque activité, huit semaines après cette date ? (0,75 point)

6. a) Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E correspondant à l’état probabiliste stable. (0,5 point)

b) Vérifier cette conjecture. (0,5 point)

Les clés du sujet

1. La matrice E0 décrit la répartition des abonnés entre les trois activités au 1er septembre 2015.

5. La répartition des abonnés après huit semaines est décrite par la matrice ligne E8.

6. L’état probabiliste stable est l’état à partir duquel il n’y a plus d’évolution. Il est représenté par la matrice ligne E telle que EM = E.