Graphes probabilistes

matT_1509_07_06C

Ens. de spécialité

France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 3 • 5 points

Répartition des clients d’une société d’assurance entre deux modes de paiement

Dans une société d’assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30 % de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l’année suivante, alors que 85 % de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l’année suivante.

En 2014, 60 % des clients paient en une fois et 40 % paient mensuellement.

Dans toute la suite de l’exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

On note :

$a_{n}$ la probabilité qu’un client choisi au hasard paie en une fois pour l’année $2014 + n$ ;

$b_{n}$ la probabilité qu’un client choisi au hasard paie mensuellement pour l’année $2014 + n$ .

On a $a_{0} = 0,6$ et $b_{0} = 0,4$ et on note $P_{n}$ l’état probabiliste pour l’année $2014 + n$ .

Ainsi $P_{0} = (0,6 0,4)$ .

On note :

A l’état « le client paie en une fois » ;

B l’état « le client paie mensuellement ».

▶ 1. Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,75 point)

▶ 2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 (arrondir les résultats au millième). (0,5 point)

▶ 4. Déterminer l’état stable et en donner une interprétation. (1 point)

▶ 5. Pour tout entier naturel $n$ , justifier que $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,15$ . (0,5 point)

▶ 6. On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_{n} < 0,3334$ .

a) Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$ . (1 point)

b) On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n} = \frac{4}{15} \times {0,55}^{n} + \frac{1}{3} .$

Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_{n} < 0,3334$ . (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

▶ 3. $2018 = 2014 + 4$ , donc l’année 2018 correspond à $n = 4$ .

▶ 4. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne $P$ dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que $P M = M$ .

▶ 5. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n} + b_{n} = 1$ .

▶ 6. a) Utilisez une boucle « Tant que ».

b) Utilisez la fonction ln.

Corrigé

▶ 1. Représenter un graphe probabiliste

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▶ 2. Écrire la matrice de transition associée à un graphe

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ :

${\begin{matrix} a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 b_{n} \\ b_{n + 1} = 0,3 a n + 0,85 b_{n} \end{matrix}$

$(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix})$ .

La matrice de transition associée au graphe précédent est donc :

$M = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) .$

▶ 3. Déterminer une probabilité

$2018 = 2014 + 4$ , donc la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 est $a_{4}$ .

$P_{4} = (a_{4} b_{4}) = P_{0} \times M^{4}$ .

À la calculatrice on obtient, en arrondissant au millième :

$P_{4} = (0,358 0,642) .$

Donc la probabilité qu’un client paie en une fois en 2018 est 0,358 en arrondissant au millième.

▶ 4. Déterminer l’état stable associé à un graphe probabiliste

Notez bien

L’état stable existe car la matrice de transition ne comporte aucun coefficient nul. Il est indépendant de l’état initial.

L’état stable $P = (a b)$ vérifie $a + b = 1$ et $P M = P$ .

$P M = P \Leftrightarrow (a b) (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) = (a b)$

$P M = P \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,7 a + 0,15 b = a \\ 0,3 a + 0,85 b = b \end{matrix}$

$P M = P \Leftrightarrow 0,3 a = 0,15 b$

$P M = P \Leftrightarrow b = 2 a$ .

On obtient $a$ et $b$ en résolvant le système ${\begin{matrix} a + b = 1 \\ b = 2 a \end{matrix}$ .

Ce système équivaut à ${\begin{matrix} 3 a = 1 \\ b = 2 a \end{matrix} .$

Donc $a = \frac{1}{3}$ et $b = \frac{2}{3}$ .

L’état stable est donc :

$(\frac{1}{3} \frac{2}{3}) .$

Au bout d’un certain nombre d’années, $\frac{1}{3}$ des clients paieront leur cotisation annuelle en une fois, $\frac{2}{3}$ des clients paieront mensuellement.

▶ 5. Justifier une relation entre deux termes successifs d’une suite

D’après la question 2., pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 b_{n}$ .

Or $a_{n} + b_{n} = 1$ , donc $b_{n} = 1 - a_{n}$ , donc :

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 (1 - a_{n})$

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,15 - 0,15 a_{n}$

$a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,15 .$

▶ 6. a) Écrire un algorithme pour déterminer le rang du premier terme d’une suite inférieur à un nombre donné

Un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_{n} < 0,3334$ est :

Variables

N est un entier

A est un réel

Initialisation

N prend la valeur 0

A prend la valeur 0,6

Traitement

Tant que $A \geq 0,3334$

N prend la valeur $N + 1$

A prend la valeur $0,55 \times A + 0,15$

Fin Tant que

Sortie

Afficher N

b) Déterminer par le calcul le rang du premier terme d’une suite inférieur à un nombre donné

Notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ donc, si $c$ et $d$ sont deux réels strictement positifs, $c < d$ équivaut à $\ln c < \ln d .$

Attention

$0 < 0,55 < 1$ , donc $\ln 0,55 < 0$ .

$\begin{array}{l} a_{n} < 0,3334 \Leftrightarrow \frac{4}{15} \times {0,55}^{n} + \frac{1}{3} < 0,3334 \\ a_{n} < 0,3334 \Leftrightarrow {0,55}^{n} < \frac{15}{4} (0,3334 - \frac{1}{3}) \\ a_{n} < 0,3334 \Leftrightarrow \ln ({0,55}^{n}) < \ln [\frac{15}{4} (0,3334 - \frac{1}{3})] \\ a_{n} < 0,3334 \Leftrightarrow n \ln 0,55 < \ln [\frac{15}{4} (0,3334 - \frac{1}{3})] \\ a_{n} < 0,3334 \Leftrightarrow n > \frac{\ln [\frac{15}{4} (0,3334 - \frac{1}{3})]}{\ln 0,55} \end{array}$

Or :

$\frac{\ln [\frac{15}{4} (0,3334 - \frac{1}{3})]}{\ln 0,55} \approx 13,87 .$

Info

On obtient le même résultat en utilisant l’algorithme écrit à la question 6.a).

Donc le plus petit entier $n$ tel que $a_{n} < 0,3334$ est :

$n = 14 .$

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