Répartition des internautes entre deux ­fournisseurs d’accès

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Répartition des internautes entre deux ­fournisseurs d’accès
 
 

Matrices et graphes • Graphes probabilistes

Corrigé

40

Ens. de spécialité

matT_1306_13_06C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Alors qu’une entreprise A possédait le monopole de l’accès à Internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s’implanter.

Lors de l’ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d’accès B, l’entreprise A possède 90 % du marché et l’entreprise B possède le reste du marché.

Dans cet exercice, on suppose que, chaque année, chaque internaute est client d’une seule entreprise A ou B.

On observe à partir de 2010 que, chaque année, 15 % des clients de l’entreprise A deviennent des clients de l’entreprise B, et 10 % des clients de l’entreprise B deviennent des clients de l’entreprise A.

Pour tout entier naturel n, on note la probabilité qu’un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à Internet fourni par l’entreprise A pour l’année 2010 +n, et la probabilité pour que son fournisseur d’accès en 2010 +n soit l’entreprise B.

On note la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010 +n, et on a ainsi et .

PARTIE A

>1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste. (0,5 point)

>2.a) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe. (0,5 point)

b) Montrer qu’en 2013, l’état probabiliste est environ (0,61 0,39). (1 point)

c) Déterminer l’état stable de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat. (1 point)

PARTIE B

Lors d’une campagne de marketing, l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.

À la fin de la journée, l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.

On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

>1. Écrire un système traduisant cette situation. (0,5 point)

>2. Montrer que le système précédent est équivalent à et X et T sont des matrices que l’on précisera. (0,5 point)

>3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat. (1 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste • Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Le graphe comporte deux sommets, A (pour l’entreprise A) et B (pour l’entreprise B).

>2.a) Les coefficients de la matrice de transition sont les probabilités, pour un internaute, de garder d’une année à la suivante le même fournisseur d’accès ou d’en changer.

>2.c) L’état stable P vérifie .

Corrigé

PARTIE A

>1. Représenter des données par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :


 

>2.a) Déterminer la matrice de transition d’un graphe

La matrice de transition de ce graphe est :

b) Étudier l’évolution de la répartition des clients entre deux entreprises

2013 = 2010 + 3, donc l’état probabiliste en 2013 est donné par :

.

.

 

Info

On a également .

En arrondissant au centième, l’état probabiliste en 2013 est donc environ (0,61 0,39).

c) Déterminer un état stable associé à un graphe probabiliste

Soit l’état stable de la répartition des clients entre les deux entreprises.

, soit , c’est-à-dire :

Les deux équations sont équivalentes à , soit .

De plus, , donc , c’est-à-dire , puis .

Donc l’état stable est :

À long terme, la répartition des internautes suivant le fournisseur d’accès sera 40 % pour le fournisseur A, 60 % pour le fournisseur B.

PARTIE B

>1. Représenter une situation par un système de deux équations à deux inconnues

Puisque l’entreprise a distribué au total 550 objets,

La dépense totale de l’entreprise est 540 €, donc .

D’où le système :

>2. Écrire sous forme matricielle un système linéaire de deux équations à deux inconnues

Matriciellement, le système précédent peut s’écrire :

>3. Résoudre et interpréter un système de deux équations à deux inconnues

Avec la calculatrice, on trouve .

Si l’entreprise distribue 550 objets, stylos et porte-clés, pour un coût total de 540 €, c’est qu’elle a distribué 300 stylos et 250 porte-clés.