Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d’une année à l’autre :

41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;

9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;

aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets S et T où :

S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;

T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM ».

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel  :

la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en  ;

la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en .

On note la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année .

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

▶ 1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)

▶ 2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l’ordre S et T est .

On note la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe G.

a) Montrer que les nombres et sont solutions du système 

. (0,25 point)

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

▶ 3. On admet que et .

Déterminer en justifiant si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi .

▶ 1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)

▶ 2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

▶ 3. Pour déterminer au bout de combien d’années l’opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu. (0,75 point)

▶ 4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que . (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

. (0,5 point)

d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,25 point)