Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d’une année à l’autre :

41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;

9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;

aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste 4457808-Eqn107 de sommets S et T où :

S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;

T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM ».

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel 4457808-Eqn108 :

4457808-Eqn109 la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en 4457808-Eqn110 ;

4457808-Eqn111 la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en 4457808-Eqn112.

On note 4457808-Eqn113 la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 4457808-Eqn114.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

 1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)

 2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l’ordre S et T est 4457808-Eqn117.

On note 4457808-Eqn118 la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe G.

a) Montrer que les nombres 4457808-Eqn120 et 4457808-Eqn121 sont solutions du système 

4457808-Eqn122. (0,25 point)

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

 3. On admet que 4457808-Eqn123 et 4457808-Eqn124.

Déterminer en justifiant si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi 4457808-Eqn125.

 1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)

 2. Montrer que, pour tout entier naturel 4457808-Eqn126, on a 4457808-Eqn127. (0,5 point)

 3. Pour déterminer au bout de combien d’années l’opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu. (0,75 point)

L1

Variables :

4457808-Eqn128 est un nombre

L2

 

4457808-Eqn129 est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à 4457808-Eqn130 la valeur 0,65

L4

 

Affecter à 4457808-Eqn131 la valeur 0

L5

 

Tant que 4457808-Eqn132

L6

   

Affecter à 4457808-Eqn133 la valeur …………

L7

   

Affecter à 4457808-Eqn134 la valeur …………

L8

 

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher …………

 4. On considère la suite 4457808-Eqn135 définie pour tout entier naturel 4457808-Eqn136 par :

4457808-Eqn137.

a) Montrer que la suite 4457808-Eqn138 est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que 4457808-Eqn139. (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

4457808-Eqn140. (0,5 point)

d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Pourcentage instantané • Matrice • Graphe probabiliste • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

 2. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 4457808-Eqn160 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 4457808-Eqn161.

Partie B

 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Dessiner le graphe probabiliste associé à une situation

matT_1505_09_01C_06

 2. a) Déterminer les conditions vérifiées par l’état stable d’un graphe

Si 4457808-Eqn330 est la matrice ligne correspondant à l’état stable du graphe 4457808-Eqn331, alors :

4457808-Eqn332 et 4457808-Eqn333

Cette égalité de matrices équivaut à :

4457808-Eqn334

qui équivaut à :

4457808-Eqn335

Donc les nombres 4457808-Eqn336 et 4457808-Eqn337 sont solutions du système :

4457808-Eqn338

b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Le système précédent est équivalent à :

4457808-Eqn339c’est-à-dire 4457808-Eqn340, soit 4457808-Eqn341.

Le couple solution du système précédent est donc :

4457808-Eqn342

 3. Déterminer si un terme d’une suite atteint une valeur donnée

D’après le résultat de la question précédente, le nombre de clients de l’opérateur TECIM tend à se stabiliser autour de 82 % de la population utilisatrice de la 4G, donc, au bout d’un certain nombre d’années, cet opérateur aura comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G ; il devrait donc atteindre son objectif.

Partie B

 1. Déterminer des termes d’une suite

La répartition des clients de la 4G au bout d’un an est donnée par :

4457808-Eqn343

La répartition au bout de deux ans est donnée par :

4457808-Eqn344

Donc au bout de deux ans, 22,25 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l’opérateur SAFIR, 77,75 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l’opérateur TECIM.

 2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite

Pour tout entier naturel 4457808-Eqn345 :

4457808-Eqn346

4457808-Eqn347

4457808-Eqn348

3. Compléter un algorithme

L1

Variables :

4457808-Eqn349 est un nombre

L2

 

4457808-Eqn350 est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à 4457808-Eqn351 la valeur 0,65

L4

 

Affecter à 4457808-Eqn352 la valeur 0

L5

 

Tant que 4457808-Eqn353

L6

   

Affecter à 4457808-Eqn354 la valeur 4457808-Eqn355

L7

   

Affecter à 4457808-Eqn356 la valeur 4457808-Eqn357

L8

 

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher 4457808-Eqn358

 4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 4457808-Eqn359:

4457808-Eqn360

Donc la suite 4457808-Eqn361 est une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est 4457808-Eqn362

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après le cours, pour tout entier naturel 4457808-Eqn363 :

4457808-Eqn364.

D’où :

4457808-Eqn365

4457808-Eqn366

c) Résoudre une inéquation d’inconnue un entier naturel

4457808-Eqn367.

Attention !

On divise les deux membres de l’inégalité par 4457808-Eqn368, et 4457808-Eqn369car 4457808-Eqn370.

D’où :

4457808-Eqn371.

Or 4457808-Eqn372.

Donc l’ensemble des entiers naturels solutions de l’inéquation 4457808-Eqn373 est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 4.

d) Donner une interprétation concrète d’un résultat numérique

4457808-Eqn374.

Si l’évolution se poursuit de la même manière, au bout de 4 ans, plus de 80 % des utilisateurs de la 4G seront clients de l’opérateur TECIM.