Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Graphes et suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d’une année à l’autre :

41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;

9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;

aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste 4457808-Eqn107 de sommets S et T où :

S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;

T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM ».

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel 4457808-Eqn108 :

4457808-Eqn109 la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en 4457808-Eqn110 ;

4457808-Eqn111 la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en 4457808-Eqn112.

On note 4457808-Eqn113 la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 4457808-Eqn114.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

 1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)

 2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l’ordre S et T est 4457808-Eqn117.

On note 4457808-Eqn118 la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe G.

a) Montrer que les nombres 4457808-Eqn120 et 4457808-Eqn121 sont solutions du système 

4457808-Eqn122. (0,25 point)

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

 3. On admet que 4457808-Eqn123 et 4457808-Eqn124.

Déterminer en justifiant si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi 4457808-Eqn125.

 1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)

 2. Montrer que, pour tout entier naturel 4457808-Eqn126, on a 4457808-Eqn127. (0,5 point)

 3. Pour déterminer au bout de combien d’années l’opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu. (0,75 point)

L1

Variables :

4457808-Eqn128 est un nombre

L2

 

4457808-Eqn129 est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à 4457808-Eqn130 la valeur 0,65

L4

 

Affecter à 4457808-Eqn131 la valeur 0

L5

 

Tant que 4457808-Eqn132

L6

   

Affecter à 4457808-Eqn133 la valeur …………

L7

   

Affecter à 4457808-Eqn134 la valeur …………

L8

 

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher …………

 4. On considère la suite 4457808-Eqn135 définie pour tout entier naturel 4457808-Eqn136 par :

4457808-Eqn137.

a) Montrer que la suite 4457808-Eqn138 est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que 4457808-Eqn139. (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

4457808-Eqn140. (0,5 point)

d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Pourcentage instantané • Matrice • Graphe probabiliste • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

 2. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 4457808-Eqn160 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 4457808-Eqn161.

Partie B

 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.