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Liban • Mai 2015
Exercice 4 • 5 points
Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs
Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).
Une étude a montré que, d'une année à l'autre :
41 % des clients de l'opérateur SAFIR le quittent pour l'opérateur TECIM
9 % des clients de l'opérateur TECIM le quittent pour l'opérateur SAFIR
aucun client ne renonce à l'utilisation de la 4G.
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets S et T où :
S est l'événement « l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur SAFIR »
T est l'événement « l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur TECIM ».
Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel :
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur SAFIR en
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur TECIM en
.
On note la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année
.
Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.
Partie A
▶ 1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)
▶ 2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l'ordre S et T est .
On note la matrice ligne correspondant à l'état stable de ce graphe G.
a) Montrer que les nombres et
sont solutions du système
. (0,25 point)
b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)
▶ 3. On admet que et
.
Déterminer en justifiant si l'opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)
Partie B
En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l'opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l'opérateur TECIM. Ainsi .
▶ 1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)
▶ 2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a
. (0,5 point)
▶ 3. Pour déterminer au bout de combien d'années l'opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu. (0,75 point)
L1 | Variables : |
| |
L2 |
| ||
L3 | Traitement : | Affecter à | |
L4 | Affecter à | ||
L5 | Tant que | ||
L6 | Affecter à | ||
L7 | Affecter à | ||
L8 | Fin Tant que | ||
L9 | Sortie : | Afficher ………… |
▶ 4. On considère la suite définie pour tout entier naturel
par :
.
a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)
b) En déduire que . (0,5 point)
c) Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :
. (0,5 point)
d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. (0,25 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Pourcentage instantané • Matrice • Graphe probabiliste • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d'un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.
▶ 2. L'état stable est associé à l'unique matrice ligne dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que
.
Partie B
▶ 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l'expression du terme général d'une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.
Corrigé
Partie A
▶ 1. Dessiner le graphe probabiliste associé à une situation
▶ 2. a) Déterminer les conditions vérifiées par l'état stable d'un graphe
Si est la matrice ligne correspondant à l'état stable du graphe
, alors :
et
Cette égalité de matrices équivaut à :
qui équivaut à :
Donc les nombres et
sont solutions du système :
b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Le système précédent est équivalent à :
c'est-à-dire
, soit
.
Le couple solution du système précédent est donc :
▶ 3. Déterminer si un terme d'une suite atteint une valeur donnée
D'après le résultat de la question précédente, le nombre de clients de l'opérateur TECIM tend à se stabiliser autour de 82 % de la population utilisatrice de la 4G, donc, au bout d'un certain nombre d'années, cet opérateur aura comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G il devrait donc atteindre son objectif.
Partie B
▶ 1. Déterminer des termes d'une suite
La répartition des clients de la 4G au bout d'un an est donnée par :
La répartition au bout de deux ans est donnée par :
Donc au bout de deux ans, 22,25 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l'opérateur SAFIR, 77,75 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l'opérateur TECIM.
▶ 2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d'une suite
Pour tout entier naturel :
▶ 3. Compléter un algorithme
L1 | Variables : |
| |
L2 |
| ||
L3 | Traitement : | Affecter à | |
L4 | Affecter à | ||
L5 | Tant que | ||
L6 | Affecter à | ||
L7 | Affecter à | ||
L8 | Fin Tant que | ||
L9 | Sortie : | Afficher |
▶ 4. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel :
Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,5.
Son premier terme est
b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite
D'après le cours, pour tout entier naturel :
.
D'où :
c) Résoudre une inéquation d'inconnue un entier naturel
.
Attention !
On divise les deux membres de l'inégalité par , et
car
.
D'où :
.
Or .
Donc l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 4.
d) Donner une interprétation concrète d'un résultat numérique
.
Si l'évolution se poursuit de la même manière, au bout de 4 ans, plus de 80 % des utilisateurs de la 4G seront clients de l'opérateur TECIM.