Répartition du marché des fontaines d’eau à bonbonnes entre deux sociétés

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Répartition du marché des fontaines d’eau à bonbonnes entre deux sociétés

Graphes probabilistes

matT_1404_12_07C

Ens. de spécialité

37

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d’eau à bonbonnes dans les entreprises d’une grande ville.

Partie A

En 2013, l’entreprise U avait 45 % du marché et l’entreprise V le reste.

Chaque année, l’entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise V. Quant à l’entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel  :

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise U l’année , ainsi  ;

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise V l’année .

>1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. (0,75 point)

>2. Donner , calculer et . (0,75 point)

>3. On considère l’algorithme (incomplet) donné ci-après. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l’algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie « traitement » - lignes L3 à L9 – en complétant les lignes L5 et L8). (1 point)

 

Variables :

Traitement :

Sortie :

N est un nombre entier naturel non nul

U et V des nombres réels

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur ……

Pour i allant de 1 jusqu’à N

Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V

Affecter à V la valeur ……

Fin Pour

Afficher U et Afficher V

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

L10

 

>4. On admet que, pour tout nombre entier naturel  :

On note, pour tout nombre entier naturel , .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)

b) Quelle est la limite de la suite  ? En déduire la limite de la suite . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

Partie B

L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

 

Nombre de recharges en milliers

1

3

5

Coût total annuel de production en centaines d’euros

11

27,4

83

 

Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel de l’intervalle [0 ; 10] par :

a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d’euros.

On admet que le triplet est solution du système :

et on pose .

>1. a) Écrire ce système sous la forme , où et sont des matrices que l’on précisera. (0,5 point)

b) On admet que la matrice est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet solution du système . (0,5 point)

>2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d’eau produites ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Boucle « Pour » • Matrice.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>4. a) Montrez que, pour tout entier naturel , .

>4. b) Utilisez le résultat du cours sur la limite d’une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1.

Partie B

>2. Calculez en utilisant les valeurs de , et obtenues à la question précédente.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe suivant :


 

>2. Calculer les premiers termes de deux suites

Notez bien

car en 2014 (2013 + 1), le client choisi est client de l’entreprise U

ou de l’entreprise V.

car en 2013, l’entreprise V avait 55 % du marché.

 ;

.

>3. Compléter un algorithme

Notez bien

Il est incorrect de compléter la ligne L8 par 0,1 × U + 0,85 × V car à la ligne précédente, le terme a déjà été remplacé par et ne permet pas le calcul de .

La partie « Traitement » de l’algorithme peut être complétée de la manière suivante :

 

L3

L4

L5

L6

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur 0,55

Pour i allant de 1 jusqu’à N

L7

L8

Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V

Affecter à V la valeur 1-U

L9

Fin pour

 

Pour la ligne L5, la valeur affectée initialement à V est la valeur de .

La formule saisie ligne L8 permet de calculer .

>4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

.

est une suite géométrique de raison 0,75.

b) Déterminer la limite de deux suites et interpréter

La suite est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc la suitea pour limite 0.

pour tout entier naturel , donc la suitea pour limite 0,6.

Cela signifie qu’à long terme, la probabilité qu’un client choisi au hasard soit client de l’entreprise U sera 0,6, c’est-à-dire que l’entreprise U aura 60 % du marché.

Partie B

>1. a) Écrire un système sous forme matricielle

Le système peut s’écrire sous forme matricielle , avec :

b) Résoudre à l’aide de la calculatrice un système écrit sous forme matricielle

équivaut à

D’après la calculatrice :

 et .

Le triplet solution du système est donc :

>2. Calculer un coût de production

D’après le résultat de la question précédente, pour milliers de recharges produites, le coût total de production est, en centaines d’euros :

Pour une production de 8 000 recharges d’eau, et :

.

Donc, pour 8 000 recharges d’eau produites, le coût total de production est 29 240 euros.