Répartition du marché des fontaines d’eau à bonbonnes entre deux sociétés

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Répartition du marché des fontaines d’eau à bonbonnes entre deux sociétés

Graphes probabilistes

matT_1404_12_07C

Ens. de spécialité

37

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 2 • 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d’eau à bonbonnes dans les entreprises d’une grande ville.

Partie A

En 2013, l’entreprise U avait 45 % du marché et l’entreprise V le reste.

Chaque année, l’entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise V. Quant à l’entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel  :

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise U l’année , ainsi

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise V l’année .

>1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. (0,75 point)

>2. Donner , calculer et . (0,75 point)

>3. On considère l’algorithme (incomplet) donné ci-après. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l’algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie « traitement » - lignes L3 à L9 – en complétant les lignes L5 et L8). (1 point)

 

Variables :

Traitement :

Sortie :

N est un nombre entier naturel non nul

U et V des nombres réels

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur ……

Pour i allant de 1 jusqu’à N

Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V

Affecter à V la valeur ……

Fin Pour

Afficher U et Afficher V

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

L10

 

>4. On admet que, pour tout nombre entier naturel  :

On note, pour tout nombre entier naturel , .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)

b) Quelle est la limite de la suite  ? En déduire la limite de la suite . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

Partie B

L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

 

Nombre de recharges en milliers

1

3

5

Coût total annuel de production en centaines d’euros

11

27,4

83

 

Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel de l’intervalle [0  10] par :

a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d’euros.

On admet que le triplet est solution du système :

et on pose .

>1. a) Écrire ce système sous la forme , où et sont des matrices que l’on précisera. (0,5 point)

b) On admet que la matrice est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet solution du système . (0,5 point)

>2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d’eau produites ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Boucle « Pour » • Matrice.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>4. a) Montrez que, pour tout entier naturel , .

>4. b) Utilisez le résultat du cours sur la limite d’une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1.

Partie B

>2. Calculez en utilisant les valeurs de , et obtenues à la question précédente.

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