Répartition entre deux types d’abonnement

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 2 • 5 points

Répartition entre deux types d’abonnement

Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement.

Jusqu’en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel n, on note :

an la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l’année 2010+n ;

bn la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l’année 2010+n ;

Pn=(anbn) la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010+n.

On a donc a0=1 , b0=0 et P0=(10).

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l’état « abonné à la version papier » et B l’état « abonné à la version numérique ». (0,5 point)

b) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre A, B des sommets. (0,5 point)

c) Montrer que P1=(0,90,1) (0,5 point)

2. On admet que, pour tout entier naturel n, on a :

an+1=0,9 an+0,06 bn et bn+1=0,1 an+0,94 bn.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l’évolution des deux types d’abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1

Entrée

Saisir n

Traitement 

a prend la valeur 1

b prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur 0,9×a+0,06×b

b prend la valeur 0,1×a+0,94×b

Afficher a et b

Fin Pour

Algorithme 2

Entrée

Saisir n

Traitement 

a prend la valeur 1

b prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à n

c prend la valeur a

a prend la valeur 0,9×a+0,06×b

b prend la valeur 0,1×c+0,94×b

Afficher a et b

Fin Pour

Sachant qu’un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. (1 point)

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

an+1=0,84 an+0,06. (0,5 point)

b) On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

un=an0,375.

Montrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer u0. (0,5 point)

c) Donner l’expression de un en fonction de n.

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

an=0,375+0,625×0,84n. (1 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien • Boucle « Pour » • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

b) La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

2. Pour le calcul de la valeur affectée à b, regardez quelle est la valeur affectée précédemment à la variable a.

3. a) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel n, an+bn=1.

c) Si un=an0,375, alors an=un+0,375.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

1. a) Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :

matT_1606_02_00C_04

b) Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet A du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de B.

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est :

M=(0,90,10,060,94).

c) Déterminer un état probabiliste

P1=P0M=(10)(0,90,10,060,94)

P1=(0,90,1).

2. Déterminer, entre deux algorithmes, celui qui donne le résultat attendu

Les deux algorithmes comportent une boucle Pour, qui permet d’effectuer n calculs successifs. n est un entier naturel strictement positif saisi par l’utilisateur, qui souhaite obtenir les valeurs de an et de bn.

Pour chaque valeur entière de i entre 1 et n, l’algorithme 1 calcule ai à partir de ai1 et de bi1, puis il applique avec ai et bi1 la formule permettant de calculer bi. En effet, la valeur de ai1 a été « écrasée » et remplacée dans la variable a par celle de ai, la valeur de ai1 n’est plus disponible et la valeur calculée n’est pas celle de bi.

Info

En programmation, on dit que c est une variable tampon.

Dans l’algorithme 2, la valeur de ai1 est « sauvegardée » dans une variable c, ce qui permet de l’utiliser pour le calcul de bi.

C’est donc l’algorithme 2 qui permet de répondre au souhait du directeur.

3. a) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel n, Pn+1=M Pn, c’est-à-dire :

(an+1bn+1)=(anbn) (0,90,10,060,94)

{an+1=0,9 an+0,06 bnbn+1=0,1 an+0,94 bn

Or an+bn=1, donc :

an+1=0,9 an+0,06 (1an)

an+1=0,9 an+0,060,06 an

an+1=0,84 an+0,06.

b) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n:

un+1=an+10,375

un+1=0,84 an+0,06 0,375

un+1=0,84(un+0,375)+0,060,375

un+1=0,84 un+0,84×0,375+0,060,375

un+1=0,84 un.

La suite (un) est géométrique de raison 0,84 ; son premier terme est :

u0=a00,375=0,625.

c) Déterminer l’expression des termes généraux de deux suites

Puisque (un) est la suite géométrique de raison 0,84, de premier terme 0,625, pour tout entier naturel n :

un=0,625×0,84n.

un=an0,375, donc :

an=un+0,375

an=0,375+0,625×0,84n.

4. Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

Pour déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier devient inférieure à 50 %, on résout l’inéquation :

an<0,5.

an<0,50,375+0,625×0,84n<0,50,625×0,84n0,125

an<0,50,84n<0,1250,6250,84n<15 (après simplification par 0,125).

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur ]0;+[; l’ordre est conservé, d’où :

nln(0,84)<ln(15).

ln(0,84)<0 car 0<0,84<1 et ln(15)=ln5, donc l’inéquation équivaut à :

n>ln 5ln(0,84).

Or ln5ln(0,84)9,2, donc, dans l’ensemble des entiers naturels, l’inéquation an<0,5 équivaut à :

n10.

Donc au bout de 10 ans, c’est-à-dire en 2020, la proportion d’abonnés à la version papier deviendra inférieure à 50 %.