Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Représentations graphiques, aire et algorithme

Compléments sur les fonctions

matT_1309_07_01C

ENS. SPÉCIFIQUE

CORRIGE

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 1 • 6 points

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère .

Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe et trois autres courbes , et avec la tangente en leur point d’abscisse 0.

>1. Donner par lecture graphique, le signe de f(x) selon les valeurs de x.

>2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur .

a) À l’aide de la courbe , déterminer F′(0) et F′(−2).

b) L’une des courbes , , est la courbe représentative de la fonction F.

Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur par :

>1. L’observation de la courbe permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

a) Démontrer que, pour tout réel x, .

b) En déduire une validation de la conjecture précédente.

>2. On pose .

a) Interpréter géométriquement le réel I.

b) Soient u et v les fonctions définies sur par et .

Vérifier que .

c) En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.

>3. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables	k et n sont des nombres entiers naturels, s est un nombre réel
Entrée	Demander à l’utilisateur la valeur de n
Initialisation	Affecter à s la valeur 0
Traitement	Pour k allant de 0 à n– 1 Affecter à s la valeur Fin de boucle
Sortie	Afficher s

On note s_n le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.

a) Justifier que s₃ représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.

b) Que dire de la valeur de s_n fournie par l’algorithme proposé lorsque n devient grand ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégrale • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Propriétés liées à la fonction exponentielle  E8  → Partie B, 1. a), 1. b), 2. b) et 2. c)
Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie B, 1. b)
Dérivation de fonctions  E6e • E6f  → Partie B, 1. a) et 2. b)
Intégration : primitive, calcul et interprétation d'une intégrale  E11a • E13 • E14  → Partie A, 2. a) ; partie B, 2. a) et 2. c)

Algorithme

Détermination d’un encadrement d’une intégrale pour une fonction monotone positive  A6  → Partie B, 3.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. b) Pour éliminer la courbe , intéressez-vous au coefficient directeur de la droite .

Pour éliminer la courbe , intéressez-vous aux variations plausibles de la fonction 

Partie B

>1. b) Étudiez le signe de la dérivée , puis déduisez-en les variations de , et enfin concluez.

>2. c) Remarquez que la fonction est une primitive de sur

Corrigé

Partie A

>1. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction

Les points de la courbe d’abscisse strictement inférieure à sont situés en dessous de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
Les points de la courbe d’abscisse strictement supérieure à sont situés au-dessus de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
La courbe coupe l’axe des abscisses en un seul point : le point d’abscisse .

Ainsi,

>2. a) Déterminer graphiquement une image

Comme est une primitive de sur , pour tout nombre réel ,

Or le point de la courbe d’abscisse 0 a pour ordonnée 2  et le point de la courbe d’abscisse a pour ordonnée 0

Par suite, et

b) Associer une courbe représentative à une fonction

Supposons que la courbe soit la courbe représentative de la fonction

Comme est la tangente à la courbe au point d’abscisse 0, son coefficient directeur doit être égal à (d’après la question 2. a)).

Par lecture graphique, les points de coordonnées et appartiennent à la droite qui a ainsi pour coefficient directeur :

Les deux points précédents conduisent à une contradiction :

La courbe ne convient pas.

Supposons que la courbe soit la courbe représentative de la fonction .

Comme est la dérivée de sur , la fonction devrait être strictement croissante sur et strictement décroissante sur (question 1.).

Par lecture graphique, la fonction est croissante sur et décroissante sur .

Les deux points précédents conduisent à une contradiction :

La courbe ne convient pas.

Par élimination, la courbe convient.

Partie B

>1. a) Dériver une fonction

Attention

La fonction est le produit de deux fonctions et définies sur par et . Comme et sont dérivables sur , alors la fonction est dérivable sur (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel  :

b) Valider une conjecture

Pour tout nombre réel , est strictement positif et est également strictement positif. Par suite, le signe de est donné par le signe de qui s’annule en .

Pour , et donc

La fonction est ainsi strictement croissante sur l’intervalle

Pour , et donc

La fonction est ainsi strictement décroissante sur l’intervalle

Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :

Par suite, la fonction admet un minimum, atteint en

La conjecture est validée.

>2. a) Interpréter géométriquement une intégrale

Le nombre réel est l’intégrale de la fonction sur l’intervalle La fonction est continue (car dérivable) sur [0 ;1] et positive sur [0 ;1]. Par définition, dans un repère orthogonal du plan, ce nombre réel est égal à l’aire exprimée en unités d’aire (u.a.) de la partie du plan délimitée par sa courbe représentative, l’axe des abscisses et les droites d’équations et .

b) Vérifier une égalité

Les fonctions et définies sur par et étant dérivables sur nous avons, pour tout nombre réel  :

c) Déterminer la valeur exacte d’une intégrale

De la question précédente, nous déduisons que la fonction est une primitive de sur (donc sur l’intervalle ). En effet, pour tout nombre réel x :

Par suite,

>3. a) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

D’après l’énoncé, l’intervalle est divisé en trois parties égales : les trois rectangles ont alors la même largeur égale à .

Une des longueurs du rectangle à gauche a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

De même, une des longueurs du rectangle au centre a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

Enfin, une des longueurs du rectangle à droite a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

L’aire exprimée en unités d’aire du domaine hachuré sur le graphique est égale à la somme des aires des trois rectangles évoqués ci-dessus, c’est-à-dire :