Représentations graphiques, aire et algorithme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle - Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Représentations graphiques, aire et algorithme
 
 

Compléments sur les fonctions

matT_1309_07_01C

ENS. SPÉCIFIQUE

11

CORRIGE

 

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 1 • 6 points

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère .

Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe et trois autres courbes , et avec la tangente en leur point d’abscisse 0.


 

 

 

 

>1. Donner par lecture graphique, le signe de f(x) selon les valeurs de x.

>2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur .

a) À l’aide de la courbe , déterminer F(0) et F(−2).

b) L’une des courbes , , est la courbe représentative de la fonction F.

Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur par :

.

>1. L’observation de la courbe permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

a) Démontrer que, pour tout réel x, .

b) En déduire une validation de la conjecture précédente.

>2. On pose .

a) Interpréter géométriquement le réel I.

b) Soient u et v les fonctions définies sur par et .

Vérifier que .

c) En déduire la valeur exacte de l’intégrale I.

>3. On donne l’algorithme ci-dessous.

 

Variables

k et n sont des nombres entiers naturels, s est un nombre réel

Entrée

Demander à l’utilisateur la valeur de n

Initialisation

Affecter à s la valeur 0

Traitement

Pour k allant de 0 à n– 1

Affecter à s la valeur

Fin de boucle

Sortie

Afficher s

 

On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.

a) Justifier que s3 représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.


 

b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme proposé lorsque n devient grand ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Intégrale • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés liées à la fonction exponentielle  E8 Partie B, 1. a), 1. b), 2. b) et 2. c)
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie B, 1. b)
  • Dérivation de fonctions  E6e • E6f  → Partie B, 1. a) et 2. b)
  • Intégration : primitive, calcul et interprétation d'une intégrale  E11a • E13 • E14 Partie A, 2. a) ; partie B, 2. a) et 2. c)

Algorithme

  • Détermination d’un encadrement d’une intégrale pour une fonction monotone positive  A6 Partie B, 3.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. b) Pour éliminer la courbe , intéressez-vous au coefficient directeur de la droite .

Pour éliminer la courbe , intéressez-vous aux variations plausibles de la fonction 

Partie B

>1. b) Étudiez le signe de la dérivée , puis déduisez-en les variations de , et enfin concluez.

>2. c) Remarquez que la fonction est une primitive de sur

Corrigé

Partie A

>1. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction

  • Les points de la courbe d’abscisse strictement inférieure à sont situés en dessous de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
  • Les points de la courbe d’abscisse strictement supérieure à sont situés au-dessus de l’axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
  • La courbe coupe l’axe des abscisses en un seul point : le point d’abscisse .

Ainsi,

>2. a) Déterminer graphiquement une image

Comme est une primitive de sur , pour tout nombre réel ,

Or le point de la courbe d’abscisse 0 a pour ordonnée 2 ­ et le point de la courbe d’abscisse a pour ordonnée 0

Par suite, et

b) Associer une courbe représentative à une fonction

  • Supposons que la courbe soit la courbe représentative de la fonction

Comme est la tangente à la courbe au point d’abscisse 0, son coefficient directeur doit être égal à (d’après la question 2. a)).

Par lecture graphique, les points de coordonnées et appartiennent à la droite qui a ainsi pour coefficient directeur :

Les deux points précédents conduisent à une contradiction :

La courbe ne convient pas.

  • Supposons que la courbe soit la courbe représentative de la fonction .

Comme est la dérivée de sur , la fonction devrait être strictement croissante sur et strictement décroissante sur (question 1.).

Par lecture graphique, la fonction est croissante sur et décroissante sur .

Les deux points précédents conduisent à une contradiction :

La courbe ne convient pas.

Par élimination, la courbe convient.

Partie B

>1. a) Dériver une fonction

 

Attention

La fonction est le produit de deux fonctions et définies sur par et . Comme et sont dérivables sur , alors la fonction est dérivable sur (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel  :

b) Valider une conjecture

Pour tout nombre réel , est strictement positif et est également strictement positif. Par suite, le signe de est donné par le signe de qui s’annule en .

Pour , et donc

La fonction est ainsi strictement croissante sur l’intervalle

Pour , et donc

La fonction est ainsi strictement décroissante sur l’intervalle

Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :


 

Par suite, la fonction admet un minimum, atteint en

La conjecture est validée.

>2. a) Interpréter géométriquement une intégrale

Le nombre réel est l’intégrale de la fonction sur l’intervalle La fonction est continue (car dérivable) sur [0 ;1] et positive sur [0 ;1]. Par définition, dans un repère orthogonal du plan, ce nombre réel est égal à l’aire exprimée en unités d’aire (u.a.) de la partie du plan délimitée par sa courbe représentative, l’axe des abscisses et les droites d’équations et .

b) Vérifier une égalité

Les fonctions et définies sur par et étant dérivables sur nous avons, pour tout nombre réel  :

c) Déterminer la valeur exacte d’une intégrale

De la question précédente, nous déduisons que la fonction est une primitive de sur (donc sur l’intervalle ). En effet, pour tout nombre réel x :

Par suite,

>3. a) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

  • D’après l’énoncé, l’intervalle est divisé en trois parties égales : les trois rectangles ont alors la même largeur égale à .

Une des longueurs du rectangle à gauche a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

De même, une des longueurs du rectangle au centre a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

Enfin, une des longueurs du rectangle à droite a pour extrémités les points de coordonnées et  : ce rectangle a ainsi pour « longueur » .

L’aire exprimée en unités d’aire du domaine hachuré sur le graphique est égale à la somme des aires des trois rectangles évoqués ci-dessus, c’est-à-dire :

.

  • Déterminons maintenant la valeur de en « déroulant » l’algorithme pour

Initialisation : prend la valeur 0.

Traitement :

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur .

Sortie : l’algorithme affiche la valeur :.

La conclusion s’ensuit.

b) Comprendre la finalité d’un algorithme

Lorsque devient grand, la valeur de fournie par l’algorithme proposé se rapproche de la valeur exacte de l’intégrale déterminée à la question 2. c).