Compléments sur les fonctions
matT_1309_07_01C
ENS. SPÉCIFIQUE
11
CORRIGE
France métropolitaine • Septembre 2013
Exercice 1 • 6 points
Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
.
Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe et trois autres courbes
,
et
avec la tangente en leur point d'abscisse 0.




.
, déterminer F′(0) et F′(−2).
,
,
est la courbe représentative de la fonction F.
Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
Partie B
Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie par :
permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.
.
On note sn le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.

Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Intégrale • Algorithme.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Propriétés liées à la fonction exponentielle
E8 → Partie B, 1. a), 1. b), 2. b) et 2. c) - Étude des variations d'une fonction
E6 c → Partie B, 1. b) - Dérivation de fonctions
E6 e • E6 f → Partie B, 1. a) et 2. b) - Intégration : primitive, calcul et interprétation d'une intégrale
E11 a • E13 • E14 → Partie A, 2. a) partie B, 2. a) et 2. c)
Algorithme
- Détermination d'un encadrement d'une intégrale pour une fonction monotone positive
A6 → Partie B, 3.
Nos coups de pouce
Partie A
, intéressez-vous au coefficient directeur de la droite
.
Pour éliminer la courbe , intéressez-vous aux variations plausibles de la fonction
Partie B
Partie A
> 1. Déterminer graphiquement le signe d'une fonction
- Les points de la courbe
d'abscisse strictement inférieure à
sont situés en dessous de l'axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
- Les points de la courbe
d'abscisse strictement supérieure à
sont situés au-dessus de l'axe des abscisses. Ainsi, pour tout nombre réel
- La courbe
coupe l'axe des abscisses en un seul point : le point d'abscisse
.
> 2. a) Déterminer graphiquement une image
Comme est une primitive de
sur
, pour tout nombre réel
,
Or le point de la courbe d'abscisse 0 a pour ordonnée 2
et le point de la courbe
d'abscisse
a pour ordonnée 0
b) Associer une courbe représentative à une fonction
Comme est la tangente à la courbe
au point d'abscisse 0, son coefficient directeur doit être égal à
(d'après la question
Par lecture graphique, les points de coordonnées et
appartiennent à la droite
qui a ainsi pour coefficient directeur :
Les deux points précédents conduisent à une contradiction :
Comme est la dérivée de
sur
, la fonction
devrait être strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
(question
Par lecture graphique, la fonction est croissante sur
et décroissante sur
.
Partie B
> 1. a) Dériver une fonction
La fonction est le produit de deux fonctions
et
définies sur
par
et
. Comme
et
sont dérivables sur
, alors la fonction
est dérivable sur
(produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel
:
b) Valider une conjecture
Pour tout nombre réel ,
est strictement positif et
est également strictement positif. Par suite, le signe de
est donné par le signe de
qui s'annule en
.
La fonction est ainsi strictement croissante sur l'intervalle
La fonction est ainsi strictement décroissante sur l'intervalle
Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :

> 2. a) Interpréter géométriquement une intégrale
Le nombre réel est l'intégrale de la fonction
sur l'intervalle
La fonction
est continue (car dérivable) sur [0 1] et positive sur [0 1]. Par définition, dans un repère orthogonal du plan, ce nombre réel est égal à l'aire exprimée en unités d'aire (u.a.) de la partie du plan délimitée par
sa courbe représentative, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
b) Vérifier une égalité
c) Déterminer la valeur exacte d'une intégrale
De la question précédente, nous déduisons que la fonction est une primitive de
sur
(donc sur l'intervalle
). En effet, pour tout nombre réel x :
Par suite,
> 3. a) Interpréter le résultat affiché par un algorithme
- D'après l'énoncé, l'intervalle
est divisé en trois parties égales : les trois rectangles ont alors la même largeur égale à
.
Une des longueurs du rectangle à gauche a pour extrémités les points de coordonnées et
: ce rectangle a ainsi pour « longueur »
.
De même, une des longueurs du rectangle au centre a pour extrémités les points de coordonnées et
: ce rectangle a ainsi pour « longueur »
.
Enfin, une des longueurs du rectangle à droite a pour extrémités les points de coordonnées et
: ce rectangle a ainsi pour « longueur »
.
L'aire exprimée en unités d'aire du domaine hachuré sur le graphique est égale à la somme des aires des trois rectangles évoqués ci-dessus, c'est-à-dire :
Initialisation : prend la valeur 0.
Traitement :
Sortie : l'algorithme affiche la valeur :.
La conclusion s'ensuit.