Représentations paramétriques. Positions relatives de droites

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Représentations paramétriques. Positions relatives de droites

Géométrie dans l’espace

Corrigé

29

Ens. spécifique

matT_1200_00_55C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé .

On note D la droite passant par les points et .

> 1. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite D est :

. (0,75 point)

> 2. On note D′ la droite ayant pour représentation paramétrique :

.

a) Donner un vecteur directeur de la droite D′. (0,25 point)

b) Démontrer que les droites D et D′ sont orthogonales. (0,5 point)

c) Démontrer les droites D et D′ ne sont pas sécantes. (0,5 point)

> 3. On considère le plan P d’équation .

a) Démontrer que le plan P contient la droite D. (0,75 point)

b) Démontrer que le plan P et la droite D′ se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. (0,75 point)

> 4. On considère la droite passant par le point et de vecteur directeur . (0,75 point)

a) Démontrer que les droites et D sont strictement parallèles. (0,75 point)

b) Démontrer que les droites et D′ sont sécantes. (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Produits scalaires • Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>  1. D est la droite passant par le point et de vecteur directeur le vecteur . → fiche  C42 

>  2. b) Calculer . → fiche  C38 B 

c) Utiliser les représentations paramétriques de D et D′, et raisonnez par l’absurde en supposant que D et D′ ont un point I commun.

>  3. a) Démontrez que tout point de la droite D appartient au plan P. → fiche  C44 

b) Trouvez la valeur du paramètre k pour qu’un point de la droite D′ appartienne au plan P.

>  4. a) Considérez un vecteur directeur de chaque droite.

Puis pensez au point C.

b) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre. Puis pensez encore au point C. → fiche  C45 

Corrigé

> 1. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite D passe par le point et a pour vecteur directeur le vecteur , de coordonnées soit . D’où une représentation paramétrique de D :

> 2. a) Trouver un vecteur directeur d’une droite
à partir d’une représentation paramétrique de cette droite

La droite D′ a pour représentation paramétrique

,
donc le vecteur est un vecteur directeur de D′.

b) Démontrer que deux droites sont orthogonales

est un vecteur directeur de D et un vecteur directeur de D′.

, ce qui signifie que les vecteurs et sont orthogonaux.

Les droites D et D′ sont donc orthogonales.

c) Démontrer que deux droites ne sont pas sécantes en utilisant des représentations paramétriques

Il existe un point appartenant à D et à D′ si, et seulement si, il existe deux réels t et k tels que :

Attention, les deux paramètres n’ont pas obligatoirement la même valeur.

 et 

On raisonne par l’absurde.

On suppose que le point I existe ; on obtient alors ,

soit ,

D’où, en remplaçant t par dans les deux autres équations :

, puis  soit 

ce qui est impossible.

La conclusion « k = 1 et k = –  2 » est absurde, donc l’hypothèse de départ est fausse : il n’existe aucun point I commun à D et D′.

Les droites D et D′ ne sont donc pas sécantes.

> 3.a) Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Démontrons que tout point de la droite D appartient au plan P.

Soit un point quelconque appartenant à la droite D :

il existe alors un réel tel que .

Or .

Ainsi, les coordonnées du point M vérifient une équation cartésienne de P, ce qui prouve que M appartient à P.

Ce résultat est vrai pour un point quelconque de la droite D, donc pour tous les points de D.

On peut ainsi conclure que le plan P contient la droite D.

b) Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan

  • Démontrons que le plan P et la droite D′ ne sont pas parallèles, ce qui revient à démontrer qu’ils sont sécants.

Une droite et un plan de l’espace sont soit parallèles, soit sécants.

Une équation cartésienne du plan P est , donc un vecteur normal au plan P est .

Un vecteur directeur de la droite D′ est .

, donc les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.

On en déduit que le plan P et la droite D′ ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants et leur intersection est un point.

  • Déterminons les coordonnées du point C d’intersection de P et D′.

Le point appartient à D′, donc il existe un réel k tel que : .

Pour déterminer la valeur de k, on utilise le fait que le point C appartient également au plan P, c’est-à-dire que les coordonnées de C vérifient aussi une équation de P : , donc , soit , puis et .

En remplaçant par , on obtient .

Donc le point C a pour coordonnées .

> 4. Étudier la position relative de deux droites

a) D et Δ ont pour vecteurs directeurs respectifs et .

, donc les droites D et Δ sont parallèles.

De plus, le point C appartient à Δ, mais n’appartient pas à D. En effet : C appartient à D′, et D et D′ n’ont aucun point commun (voir 2. c)).

On en déduit que les droites D et Δ sont strictement parallèles.

b) Les droites D et Δ sont parallèles, et les droites D et D′ sont orthogonales (voir 2. b)). Donc les droites Δ et D′ sont orthogonales.

De plus, le point C appartient à Δ et à D′.

On en déduit que les droites Δ et D′ sont perpendiculaires (en C).