Géométrie dans l'espace
Corrigé
29
Ens. spécifique
matT_1200_00_55C
Sujet inédit
Exercice • 5,5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé 
.
On note D la droite passant par les points 
et 
.
. (0,75 point)
.
de la droite D′. (0,25 point)
.
passant par le point 
et de vecteur directeur 
. (0,75 point)
et
et
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes en jeu
Produits scalaires • Droites et plans dans l'espace.
Les conseils du correcteur
et de vecteur directeur le vecteur 
.
.
Puis pensez au point C.
> 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
La droite D passe par le point 
et a pour vecteur directeur le vecteur 
, de coordonnées 
soit 
. D'où une représentation paramétrique de D : 
> 2. a) Trouver un vecteur directeur d'une droite
à partir d'une représentation paramétrique de cette droite
La droite D′ a pour représentation paramétrique
,
donc 
est un vecteur directeur de D′
b) Démontrer que deux droites sont orthogonales
est un vecteur directeur de D et 
un vecteur directeur de D′.
, ce qui signifie que les vecteurs 
et 
sont orthogonaux.
c) Démontrer que deux droites ne sont pas sécantes en utilisant des représentations paramétriques
Il existe un point 
appartenant à D et à D′ si, et seulement si, il existe deux réels t et k tels que :
Attention, les deux paramètres n'ont pas obligatoirement la même valeur.
et 
On raisonne par l'absurde.
On suppose que le point I existe on obtient alors 
,
soit 
,
D'où, en remplaçant t par 
dans les deux autres équations :
, puis 
soit 
ce qui est impossible.
La conclusion « k
> 3. a) Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Démontrons que tout point de la droite
Soit 
un point quelconque appartenant à la droite
il existe alors un réel 
tel que 
.
Or 
.
Ainsi, les coordonnées du point M vérifient une équation cartésienne de
Ce résultat est vrai pour un point quelconque de la droite
b) Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
- Démontrons que le plan
P et la droiteD ′ ne sont pas parallèles, ce qui revient à démontrer qu'ils sont sécants.
Une droite et un plan de l'espace sont soit parallèles, soit sécants.
Une équation cartésienne du plan 
, donc un vecteur normal au plan 
.
Un vecteur directeur de la droite 
.
, donc les vecteurs 
et 
ne sont pas orthogonaux.
On en déduit que le plan
- Déterminons les coordonnées du point C d'intersection de
P etD ′.
Le point 
appartient à 
.
Pour déterminer la valeur de k, on utilise le fait que le point C appartient également au plan 
, donc 
, soit 
, puis 
et 
.
En remplaçant 
par 
, on obtient 
.
Donc 
> 4. Étudier la position relative de deux droites
et 
.
, donc les droites
De plus, le point C appartient à Δ, mais n'appartient pas à
On en déduit que
De plus, le point C appartient à Δ et à
On en déduit que