Géométrie dans l'espace
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_55C
Sujet inédit
Exercice • 5,5 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On note D la droite passant par les points et
.
de la droite D′. (0,25 point)
.
passant par le point
et de vecteur directeur
. (0,75 point)
et
et
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes en jeu
Produits scalaires • Droites et plans dans l'espace.
Les conseils du correcteur
et de vecteur directeur le vecteur
.
.
Puis pensez au point C.
> 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
La droite D passe par le point et a pour vecteur directeur le vecteur
, de coordonnées
soit
. D'où une représentation paramétrique de D :
> 2. a) Trouver un vecteur directeur d'une droite
à partir d'une représentation paramétrique de cette droite
b) Démontrer que deux droites sont orthogonales
est un vecteur directeur de D et
un vecteur directeur de D′.
, ce qui signifie que les vecteurs
et
sont orthogonaux.
c) Démontrer que deux droites ne sont pas sécantes en utilisant des représentations paramétriques
Il existe un point appartenant à D et à D′ si, et seulement si, il existe deux réels t et k tels que :
Attention, les deux paramètres n'ont pas obligatoirement la même valeur.
On raisonne par l'absurde.
On suppose que le point I existe on obtient alors ,
D'où, en remplaçant t par dans les deux autres équations :
ce qui est impossible.
La conclusion « k
> 3. a) Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Démontrons que tout point de la droite
Soit un point quelconque appartenant à la droite
il existe alors un réel tel que
.
Ainsi, les coordonnées du point M vérifient une équation cartésienne de
Ce résultat est vrai pour un point quelconque de la droite
b) Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
- Démontrons que le plan
P et la droiteD ′ ne sont pas parallèles, ce qui revient à démontrer qu'ils sont sécants.
Une droite et un plan de l'espace sont soit parallèles, soit sécants.
Une équation cartésienne du plan , donc un vecteur normal au plan
.
Un vecteur directeur de la droite .
, donc les vecteurs
et
ne sont pas orthogonaux.
On en déduit que le plan
- Déterminons les coordonnées du point C d'intersection de
P etD ′.
Le point appartient à
.
Pour déterminer la valeur de k, on utilise le fait que le point C appartient également au plan , donc
, soit
, puis
et
.
> 4. Étudier la position relative de deux droites
et
.
, donc les droites
De plus, le point C appartient à Δ, mais n'appartient pas à
On en déduit que
De plus, le point C appartient à Δ et à
On en déduit que