Représentations paramétriques. Positions relatives de droites

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Représentations paramétriques. Positions relatives de droites

Géométrie dans l’espace

Corrigé

29

Ens. spécifique

matT_1200_00_55C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé .

On note D la droite passant par les points et .

>1.  Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite D est  :

. (0,75  point)

>2.  On note D&prime la droite ayant pour représentation paramétrique  :

.

a)  Donner un vecteur directeur de la droite D&prime . (0,25  point)

b)  Démontrer que les droites D et D&prime sont orthogonales. (0,5  point)

c)  Démontrer les droites D et D&prime ne sont pas sécantes. (0,5  point)

>3.  On considère le plan P d’équation .

a)  Démontrer que le plan P contient la droite D. (0,75  point)

b)  Démontrer que le plan P et la droite D&prime se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. (0,75  point)

>4.  On considère la droite passant par le point et de vecteur directeur . (0,75  point)

a)  Démontrer que les droites et D sont strictement parallèles. (0,75  point)

b)  Démontrer que les droites et D&prime sont sécantes. (0,5  point)

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes en jeu

Produits scalaires • Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>    1.  D est la droite passant par le point et de vecteur directeur le vecteur . →  fiche    C42 

>    2.  b)  Calculer . →  fiche    C38 B 

c)  Utiliser les représentations paramétriques de D et D&prime , et raisonnez par l’absurde en supposant que D et D&prime ont un point I commun.

>    3.  a)  Démontrez que tout point de la droite D appartient au plan P. →  fiche    C44 

b)  Trouvez la valeur du paramètre k pour qu’un point de la droite D&prime appartienne au plan P.

>    4.  a)  Considérez un vecteur directeur de chaque droite.

Puis pensez au point C.

b)  Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre. Puis pensez encore au point C. →  fiche    C45