Terminale générale Mathématiques Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

matT_2505_02_00C

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Sprint final

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Exercice 1

Réseau, serveurs et stabilité de la connexion

1 h 10

6 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice de probabilités, la première partie porte sur des probabilités conditionnelles. La deuxième partie concerne une variable aléatoire suivant une loi binomiale, puis fait intervenir l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Pour accéder au réseau privé d’une entreprise depuis l’extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

25 % des connexions transitent via le serveur A ;

15 % des connexions transitent via le serveur B ;

le reste des connexions s’effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu’une connexion est stable si l’utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L’équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d’un fonctionnement habituel des serveurs :

90 % des connexions via le serveur A sont stables ;

80 % des connexions via le serveur B sont stables ;

85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Partie A

matT_2505_02_00C_01

On s’intéresse au hasard à l’état d’une connexion effectuée par un employé de l’entreprise. On considère les événements suivants :

A : « La connexion s’est effectuée via le serveur A » ;

B : « La connexion s’est effectuée via le serveur B » ;

C : « La connexion s’est effectuée via le serveur C » ;

S : « La connexion est stable ».

On note $\bar{S}$ l’événement contraire de l’événement S.

▶ 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessus modélisant la situation de l’énoncé.

▶ 2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à 0,12.

▶ 3. Calculer la probabilité $P (C \cap \bar{S})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 4. Démontrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,855.

▶ 5. On suppose désormais que la connexion est stable. Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.

On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D’après la partie A, la probabilité qu’une connexion soit instable est égale à 0,145.

▶ 1. Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveur, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l’entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.

a) On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b) Donner la probabilité qu’au plus huit connexions soient instables.

On donnera la valeur arrondie au millième.

▶ 2. Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de n connexions, toujours dans les mêmes conditions, où n désigne un entier naturel strictement positif. On note X_n la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que X_n suit une loi binomiale de paramètres n et 0,145.

a) Donner l’expression en fonction de n de la probabilité p_n qu’au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

b) Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que la probabilité p_n est supérieure ou égale à 0,99.

▶ 3. On s’intéresse à la variable aléatoire F_n égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de n connexions, où n désigne un entier naturel strictement positif. On a donc $F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ , où X_n est la variable aléatoire définie à la question 2.

a) Calculer l’espérance E(F_n). On admet que $V (F_{n}) = \frac{0,123975}{n}$ .

b) Vérifier que $P (|F_{n} - 0,145| \geq 0,1) \leq \frac{12,5}{n}$ .

c) Un responsable de l’entreprise étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate que pour cet échantillon F₁₀₀₀ = 0,3. Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

▶ 2. Il faut calculer la probabilité de l’intersection de deux événements ; utilisez l’arbre précédent.

▶ 3. Appliquez la formule des probabilités totales.

▶ 5. Dans cette question, on demande une probabilité conditionnelle. Utilisez la définition.

Partie B

▶ 1. b) Utilisez la calculatrice.

▶ 2. a) Passez par l’événement contraire.

b) Traduisez la question par une inégalité et appliquez la fonction ln.

▶ 3. a) Utilisez une propriété de l’espérance.

b) Appliquez l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

c) Utilisez ce qui précède avec n = 1 000.

Partie A

▶ 1. Dresser un arbre pondéré modélisant une situation

D’après l’énoncé, la situation peut être modélisée par l’arbre suivant :

matT_2505_02_00C_02

En effet :

$P (A) = 0,25$ (« 25 % des connexions transitent via le serveur A »), $P (B) = 0,15$ (« 15 % des connexions transitent via le serveur B »).

Donc $P (C) = 0,6$ car $P (A) + P (B) + P (C) = 1 .$

$P_{A} (S) = 0,9$ (« 90 % des connexions via le serveur A sont stables »).

Donc $P_{A} (\bar{S}) = 0,1$ .

$P_{B} (S) = 0,8$ (« 80 % des connexions via le serveur B sont stables »).

Donc $P_{B} (\bar{S}) = 0,2$ .

$P_{C} (S) = 0,85$ (« 85 % des connexions via le serveur C sont stables »).

Donc $P_{C} (\bar{S}) = 0,15$ .

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est P(B ∩ S). D’après l’arbre précédent : $P (B \cap S) = 0,15 \times 0,8 = 0,12$ .

La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est 0,12.

▶ 3. Calculer et interpréter la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre : $P (C \cap \bar{S}) = 0,6 \times 0,15$ , c’est-à-dire $P (C \cap \bar{S}) = 0,09$ .

Cela signifie que 9 % des connexions s’effectuent via le serveur C et sont instables.

▶ 4. Calculer la probabilité d’un événement

à noter

Une interprétation de ce résultat est « 85,5 % des connexions sont stables » (tous serveurs confondus).

$P (S) = P (A \cap S) + P (B \cap S) + P (C \cap S)$ car A, B et C forment une partition de l’univers.

D’après l’arbre : $P (S) = 0,25 \times 0,9 + 0,12 + 0,6 \times 0,85$ , soit $P (S) = 0,855$ .

▶ 5. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est la probabilité de B sachant que S est réalisé, c’est-à-dire la probabilité conditionnelle P_S(B).

Par définition d’une probabilité conditionnelle : $P_{S} (B) = \frac{P (B \cap S)}{P (S)}$ .

Donc $P_{S} (B) = \frac{0,12}{0,855}$ , soit P_S(B)≈ 0,140.

Si la connexion est stable, la probabilité qu’elle ait eu lieu depuis le serveur B est 0,140 (arrondi au millième).

Partie B

▶ 1. a) Donner les paramètres de la loi d’une variable aléatoire

L’expérience est un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 50 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le « succès » est l’événement $\bar{S}$ : « la connexion est instable », la probabilité de « succès » est 0,145. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,145, notée B(50 ; 0,145).

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu’au plus huit connexions soient instables est P(X ≤ 8).

D’après la calculatrice : $P (X \leq 8) \approx 0,704$ (en arrondissant au millième).

La probabilité qu’au plus huit connexions soient instables est environ 0,704.

▶ 2. a) Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

► Le conseil de méthode

Lorsque « au moins » figure dans la définition d’un événement, on passe généralement par l’événement contraire pour calculer sa probabilité.

L’événement contraire de « au moins une connexion est instable » est « les n connexions sont stables », de probabilité ${0,855}^{n}$ . Donc $p_{n} = 1 - {0,855}^{n}$ .

b) Déterminer la valeur minimale d’un entier vérifiant une condition donnée

attention

$\ln (0,855) < 0$ car 0 < 0,855 < 1.

$p_{n} \geq 0,99 \Leftrightarrow 1 - {0,855}^{n} \geq 0,99 \Leftrightarrow {0,855}^{n} \leq 0,01$

On applique aux deux membres de cette inégalité la fonction ln, croissante sur $]0; + \infty[$ .

${0,855}^{n} \leq 0,01 \Leftrightarrow n \ln (0,855) \leq ln (0,01)$

${0,855}^{n} \leq 0,01 \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln (0,01)}{ln (0,855)}$ .

Or $\frac{ln (0,01)}{ln (0,855)} \approx 29,4$ , donc la plus petite valeur de l’entier n telle que la probabilité qu’au moins une connexion de l’échantillon soit instable soit supérieure ou égale à 0,99 est 30.

▶ 3. a) Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

à noter

Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors son espérance est $E (X) = n p$ et sa variance est $V (X) = n p (1 - p)$ .

$F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ , donc l’espérance de F_n est $E (F_{n}) = \frac{1}{n} E (X_{n})$ .

Comme X_n suit la loi binomiale de paramètres n et 0,145, son espérance est $E (X_{n}) = 0,145 n$ . On en déduit que l’espérance de F_n est $E (F_{n}) = 0,145$ .

b) Majorer une probabilité

à noter

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev signifie qu’une variable aléatoire prend avec une probabilité faible une valeur éloignée de son espérance ; plus précisément, elle donne une majoration de cette probabilité.

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel δ > 0 :

$P (|F_{n} - E (F_{n})| \geq δ) \leq \frac{V (F_{n})}{δ^{2}}$ .

Avec δ = 0,1 et en remplaçant E(F_n) et V(F_n) par leur valeur, on a :

$P (|F_{n} - 0,145| \geq 0,1) \leq \frac{0,123975}{0,01 n}$ , soit $P (|F_{n} - 0,145| \geq 0,1) \leq \frac{12,3975}{n}$ .

Or 12,3975 < 12,5, donc $P (|F_{n} - 0,145| \geq 0,1) \leq \frac{12,5}{n}$ .

c) Interpréter une valeur prise par une variable aléatoire

Avec n = 1 000, $P (|F_{1 000} - 0,145| \geq 0,1) \leq 0,0125$ .

$|0,3 - 0,145| > 0,1$ ; la valeur 0,3 prise par F₁₀₀₀ pour l’échantillon étudié est éloignée de 0,145 de plus de 0,1 ce qui, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, se produit avec une probabilité très faible, inférieure ou égale à 0,0125. Le responsable a donc raison de soupçonner un dysfonctionnement des serveurs.

Réseau, serveurs et stabilité de la connexion

Partie A

Partie B

Les clés du sujet

Partie A

Partie B

Partie A

▶ 1. Dresser un arbre pondéré modélisant une situation

▶ 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 3. Calculer et interpréter la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 4. Calculer la probabilité d’un événement

à noter

▶ 5. Calculer une probabilité conditionnelle

Partie B

▶ 1. a) Donner les paramètres de la loi d’une variable aléatoire

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

▶ 2. a) Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

► Le conseil de méthode

b) Déterminer la valeur minimale d’un entier vérifiant une condition donnée

attention

▶ 3. a) Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

à noter

b) Majorer une probabilité

à noter

c) Interpréter une valeur prise par une variable aléatoire

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