Terminale générale Mathématiques Primitives, équations différentielles

Analyse

Primitives, équations différentielles

matT_2000_00_47C

Primitives, équations différentielles

Résolution d'une équation différentielle à coefficients non constants

40 min

4 points

Intérêt du sujet • Ce sujet propose de résoudre une équation différentielle $y^{'} = a y + b$ , où a et b ne sont pas constants, grâce à une fonction auxiliaire qui est elle-même solution d'une équation différentielle que l'on sait résoudre.

On cherche à résoudre l'équation $(E) : x y^{'} - (x + 1) y = x^{3}$ dans $]0; + \infty[$ .

▶ 1. On considère l'équation différentielle $(E_{1}) : y^{'} = y + x$ .

a) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction affine f définie sur $ℝ$ par $f (x) = a x + b$ soit solution de $(E_{1})$ sur $ℝ .$

b) Soit g une fonction définie et dérivable sur $ℝ .$

Montrer que g est solution de $(E_{1})$ sur $ℝ$ si et seulement si $(g - f)$ est solution sur $ℝ$ de l'équation différentielle $(E_{0}) : y^{'} = y .$

c) Donner l'ensemble des solutions de $(E_{1})$ sur $ℝ .$

▶ 2. a) Soit h une fonction définie et dérivable sur $]0; + \infty[$ . Montrer que si h est solution de $(E)$ sur $]0; + \infty[$ , alors la fonction $u : x \mapsto \frac{h (x)}{x}$ est solution de $(E_{1})$ sur $]0; + \infty[$ .

b) Soit u une fonction définie et dérivable sur $]0; + \infty[$ . Montrer que si u est solution de $(E_{1})$ sur $]0; + \infty[$ , alors la fonction $h : x \mapsto x u (x)$ est solution de $(E)$ sur $]0; + \infty[$ .

c) Déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $]0; + \infty[$ .

Les clés du sujet

▶ 1. a) Après avoir dérivé f, remplacez y par f dans $(E_{1})$ , simplifiez l'équation, puis identifiez les coefficients des polynômes.

b) Sachant que g et f sont solutions de $(E_{1})$ , il faut que vous arriviez à $(f - g)$ solution de $(E_{0})$ en raisonnant toujours par équivalences.

c) Appliquez un résultat de cours pour résoudre $(E_{0})$ , puis utilisez l'équivalence de la question 1. b) pour trouver toutes les solutions de $(E_{1})$ .

▶ 2. a) Sachant que h vérifie $(E_{1})$ , dérivez u et remplacez y par u dans l'équation $(E)$ .

b) Utilisez un raisonnement identique à celui de la question précédente, sachant cette fois que u vérifie $(E)$ et remplacez y par h dans $(E_{1})$ .

c) Trouvez une équivalence grâce aux questions 2. a) et 2. b) À partir des solutions de $(E_{1})$ trouvées à la question 1, déduisez-en celles de $(E)$ .

▶ 1. a) Trouver une solution particulière d'une équation auxiliaire

f est dérivable sur $ℝ$ . Pour tout réel x, $f^{'} (x) = a .$ f est solution de $(E_{1})$ si et seulement si, pour tout réel x, on a : $a = a x + b + x \Leftrightarrow (a + 1) x + b - a = 0$ .

Donc f est solution de $(E_{1}) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a + 1 = 0 \\ b - a = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow$ $a = b = - 1$ .

b) Montrer une équivalence

On sait que f est solution de $(E_{1})$ donc $f^{'} (x) = f (x) + x (1)$

On a $g - f$ solution de $(E_{0})$ sur $ℝ$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, ${(g - f)}^{'} (x) = (g - f) (x)$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, $g^{'} (x) - g (x) = f^{'} (x) - f (x)$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, $g^{'} (x) = g (x) + x$ d'après (1)

$\Leftrightarrow$ g est solution de $(E_{1})$ sur $ℝ$ .

c) Résoudre l'équation différentielle auxiliaire

On déduit de ce qui précède que g est solution de $(E_{1})$

$\Leftrightarrow g - f$ est solution de $(E_{0})$

$\Leftrightarrow$ il existe un réel C tel que $g (x) - f (x) = C e^{x}$ pour tout réel x

$\Leftrightarrow$ il existe un réel C tel que $g (x) = C e^{x} + f (x),$ pour tout réel x

Donc l'ensemble des solutions de $(E_{1})$ est $S = \{x \mapsto C e^{x} - x - 1, C \in ℝ\}$ .

▶ 2. Faire le lien entre les solutions de deux équations différentielles

a) h est dérivable sur $]0; + \infty[,$ donc la fonction $u : x \mapsto \frac{h (x)}{x}$ est définie et dérivable sur $]0; + \infty[.$

Pour tout réel $x \in]0; + \infty[,$ $u^{'} (x) = \frac{x h^{'} (x) - h (x)}{x^{2}} .$

Si h est solution de $(E)$ , pour tout $x \in]0; + \infty[$ :

$x h^{'} (x) - (x + 1) h (x) = x^{3}$

et $u^{'} (x) - u (x) = \frac{x h^{'} (x) - h (x)}{x^{2}} - \frac{h (x)}{x} = \frac{x h (x) + x^{3} - x h (x)}{x^{2}} = x .$

Donc u est solution de $(E_{1})$ sur $]0; + \infty[$ .

b) u est dérivable sur $]0; + \infty[,$ donc la fonction $h : x \mapsto x u (x)$ est définie et dérivable sur $]0; + \infty[.$ Pour tout réel $x \in]0; + \infty[,$ $h^{'} (x) = u (x) + x u^{'} (x) .$

Si u est solution de $(E_{1})$ , alors pour tout $x \in]0; + \infty[,$ $u^{'} (x) = u (x) + x$ et :

$\begin{matrix} x h^{'} (x) - (x + 1) h (x) = x u (x) + x^{2} u^{'} (x) - (x^{2} u (x) + x u (x)) \\ = x^{2} (u^{'} (x) - u (x)) . \end{matrix}$

Donc $x h^{'} (x) - (x + 1) h (x) = x^{2} \times x = x^{3} .$

Et h est solution de $(E)$ sur $]0; + \infty[$ .

c) D'après 2. a) et b), h est solution de $(E) \Leftrightarrow x \mapsto \frac{h (x)}{x}$ est solution de $(E_{1})$ $\Leftrightarrow$ il existe $C \in ℝ$ tel que pour tout $x \in]0; + \infty[,$ $\frac{h (x)}{x} = C e^{x} - x - 1 .$

Donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est :

$S = \{x \mapsto x (C e^{x} - x - 1), C \in ℝ\}$ .

Résolution d'une équation différentielle, à coefficients non constants

Les clés du sujet

▶ 1. a) Trouver une solution particulière d'une équation auxiliaire

b) Montrer une équivalence

c) Résoudre l'équation différentielle auxiliaire

▶ 2. Faire le lien entre les solutions de deux équations différentielles

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