Annale corrigée Exercice

Résolution d'une équation différentielle, à coefficients non constants

Primitives, équations différentielles

Résolution d'une équation différentielle à coefficients non constants

40 min

4 points

Intérêt du sujet  Ce sujet propose de résoudre une équation différentielle y=ay+b, où a et b ne sont pas constants, grâce à une fonction auxiliaire qui est elle-même solution d'une équation différentielle que l'on sait résoudre.

 

On cherche à résoudre l'équation (E):xy(x+1)y=x3 dans 0;+.

1. On considère l'équation différentielle (E1):y=y+x.

a) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction affine f définie sur par f(x)=ax+b soit solution de (E1) sur .

b) Soit g une fonction définie et dérivable sur .

Montrer que g est solution de (E1) sur si et seulement si (gf) est solution sur de l'équation différentielle (E0):y=y.

c) Donner l'ensemble des solutions de (E1) sur .

2. a) Soit h une fonction définie et dérivable sur 0;+. Montrer que si h est solution de (E) sur 0;+, alors la fonction u:xh(x)x est solution de (E1) sur 0;+.

b) Soit u une fonction définie et dérivable sur 0;+. Montrer que si u est solution de (E1) sur 0;+, alors la fonction h:xxu(x) est solution de (E) sur 0;+.

c) Déduire l'ensemble des solutions de (E) sur 0;+.

 

Les clés du sujet

1. a) Après avoir dérivé f, remplacez y par f dans (E1), simplifiez l'équation, puis identifiez les coefficients des polynômes.

b) Sachant que g et f sont solutions de (E1), il faut que vous arriviez à (fg) solution de (E0) en raisonnant toujours par équivalences.

c) Appliquez un résultat de cours pour résoudre (E0), puis utilisez l'équivalence de la question 1. b) pour trouver toutes les solutions de (E1).

2. a) Sachant que h vérifie (E1), dérivez u et remplacez y par u dans l'équation (E).

b) Utilisez un raisonnement identique à celui de la question précédente, sachant cette fois que u vérifie (E) et remplacez y par h dans (E1).

c) Trouvez une équivalence grâce aux questions 2. a) et 2. b) À partir des solutions de (E1) trouvées à la question 1, déduisez-en celles de (E).

1. a) Trouver une solution particulière d'une équation auxiliaire

f est dérivable sur . Pour tout réel x,f(x)=a.f est solution de (E1) si et seulement si, pour tout réel x, on a : a=ax+b+x(a+1)x+ba=0.

Donc f est solution de (E1)a+1=0ba=0a=b=1.

b) Montrer une équivalence

On sait que f est solution de (E1) donc f(x)=f(x)+x(1)

On a gf solution de (E0) sur

pour tout réel x, (gf)(x)=(gf)(x)

pour tout réel x, g(x)g(x)=f(x)f(x)

pour tout réel x, g(x)=g(x)+x d'après (1)

g est solution de (E1) sur .

c) Résoudre l'équation différentielle auxiliaire

On déduit de ce qui précède que g est solution de (E1)

gf est solution de (E0)

il existe un réel C tel que g(x)f(x)=Cex pour tout réel x

il existe un réel C tel que g(x)=Cex+f(x), pour tout réel x

Donc l'ensemble des solutions de (E1) est S=xCexx1,C.

2. Faire le lien entre les solutions de deux équations différentielles

a) h est dérivable sur 0;+, donc la fonction u:xh(x)x est définie et dérivable sur 0;+.

Pour tout réel x0;+,u(x)=xh(x)h(x)x2.

Si h est solution de (E), pour tout x0;+ :

xh(x)(x+1)h(x)=x3

et u(x)u(x)=xh(x)h(x)x2h(x)x=xh(x)+x3xh(x)x2=x.

Donc u est solution de (E1) sur 0;+.

b) u est dérivable sur 0;+, donc la fonction h:xxu(x) est définie et dérivable sur 0;+. Pour tout réel x0;+,h(x)=u(x)+xu(x).

Si u est solution de (E1), alors pour tout x0;+,u(x)=u(x)+x et :

xh(x)(x+1)h(x)=xu(x)+x2u(x)(x2u(x)+xu(x))=x2(u(x)u(x)).

Donc xh(x)(x+1)h(x)=x2×x=x3.

Et h est solution de (E) sur 0;+.

c) D'après 2. a) et b), h est solution de (E)xh(x)x est solution de (E1) il existe C tel que pour tout x0;+,h(x)x=Cexx1.

Donc l'ensemble des solutions de (E) est :

S=xx(Cexx1),C.

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