Partie A : Préambule

▶ 1. Déterminer des primitives

La fonction $\text{ϕ}$ est continue (car dérivable) sur $\text{ℝ}$ et $\text{ϕ}(x)=\frac{1}{2}(2{\text{e}}^{2x})-1.$

L'ensemble des primitives de $\text{ϕ}$ est $\mathcal{S}=\left\{x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{2}-x+A,A\in \text{ℝ}\right\}$.

▶ 2. Déterminer une primitive en utilisant la définition

Pour tout réel $x$ :

$w^{\prime }(x)=a{\text{e}}^{-2x}-2(ax+b){\text{e}}^{-2x}$

$w^{\prime }(x)=(-2ax+a-2b){\text{e}}^{-2x}$.

$w$ est une primitive de $\text{φ}$ sur $\text{ℝ}$ si, et seulement si, pour tout réel $x$, $w^{\prime }(x)= \text{φ}(x)$, c'est-à-dire $w^{\prime }(x)=x{\text{e}}^{-2x}$.

Cette égalité est réalisée si on a $-2a=1$ et $a-2b=0$, ce qui équivaut à $a=-\frac{1}{2}$ et $b=\frac{a}{2}$, soit $b=-\frac{1}{4}$.

On en déduit que la fonction $w:x\mapsto \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right){\text{e}}^{-2x}$ est une primitive sur $\text{ℝ}$ de la fonction $\text{φ}:x\mapsto x{\text{e}}^{-2x}$.

Partie B : Équation différentielle d'ordre 1

▶ 1. Résoudre une équation différentielle auxiliaire

$y^{\prime }+2y=0\iff y^{\prime }=-2y.$ Donc, d'après le cours, $\mathcal{S}=\left\{x\mapsto C{\text{e}}^{-2x},C\in \text{ℝ}\right\}$.

▶ 2. Déterminer des fonctions particulières, solutions de l'équation initiale

g est dérivable sur $\text{ℝ}$ donc $f:x\mapsto g(x){\mathrm{e}}^{-2x}$ est dérivable.

Pour tout réel x, on a $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-2x}-2g(x){\mathrm{e}}^{-2x}.$

f est solution de $({\text{E}}_{\text{1}})$$\iff f^{\prime }(x)+2f(x)=1-{\mathrm{e}}^{-2x}$ pour tout réel x

$\iff g^{\prime }(x){\text{e}}^{-2x}-2g(x){\text{e}}^{-2x}+2g(x){\text{e}}^{-2x}=1-{\text{e}}^{-2x}$ pour tout réel x

$\iff g^{\prime }(x){\text{e}}^{-2x}=1-{\text{e}}^{-2x}$ pour tout réel x

$\iff g^{\prime }(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{-2x}}-1={\mathrm{e}}^{2x}-1=\text{ϕ}(x)$ pour tout réel x.

D'après A. 1., les fonctions g sont donc de la forme $x\mapsto \frac{{\text{e}}^{2x}}{2}-x+A,A\in \text{ℝ}$.

▶ 3. Déterminer une solution avec condition initiale

Si f est solution de $({\text{E}}_{\text{1}})$, alors, il existe une constante A telle que $f(x)=\left(\frac{{\text{e}}^{2x}}{2}-x+A\right){\text{e}}^{-2x}=\frac{1}{2}-x{\text{e}}^{-2x}+A{\text{e}}^{-2x}.$

Or on sait que $f(0)=\frac{1}{2},$ donc $\frac{1}{2}-0+A=\frac{1}{2}\iff A=0.$

Donc $f(x)=\left(\frac{{\text{e}}^{2x}}{2}-x\right){\text{e}}^{-2x}=$$\frac{1}{2}-x{\text{e}}^{-2x}$.

On vérifie que f est bien solution de (E₁), avec $f(0)=\frac{1}{2}.$

▶ 4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation initiale d'ordre 1

On en déduit, d'après le cours, que $\mathcal{S}=\left\{x\mapsto C{\text{e}}^{-2x}+\frac{1}{2}-x{\text{e}}^{-2x},C\in \text{ℝ}\right\}$.

Partie C : Équation différentielle d'ordre 2

▶ 1. Déterminer une solution particulière d'une équation auxiliaire

Si la fonction $h:x\mapsto x^a$ est solution de $({\text{H}}_{\text{2}})$ sur $\text{I}=\left]0;+\infty \right[,$ alors, pour tout $x\in \text{I,}$$\begin{array}{c}0=a(a-1)x^{a-1}+2a(x+1)x^{a-1}+2x^a\\ =(a^2+a)x^{a-1}+(2a+2)x^a.\end{array}$

Par identification, on obtient $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+a=0\\ a+1=0\end{array}\right.$ donc $a=-1$.

(On vérifie facilement que $h:x\mapsto \frac{1}{x}$ est bien solution de $({\text{H}}_{\text{2}})$ sur I.)

▶ 2. Appliquer la méthode de Lagrange

z est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables. Pour tout $x\in \text{I,}$$z^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)h(x)+u(x)h^{\prime }(x)$ et $z^{″}(x)=u^{″}(x)h(x)+2u^{\prime }(x)h^{\prime }(x)+u(x)h^{″}(x).$

Si z est solution de $({\text{E}}_{\text{2}})$ alors :

Or h est solution de (H₂)

donc $x{h}^{″}(x)+2(x+1)h^{\prime }(x)+2h(x)=0.$

On a donc :

$\begin{array}{c}1-{\mathrm{e}}^{-2x}=x(u^{″}(x)h(x)+2u^{\prime }(x)h^{\prime }(x))+2(x+1)u^{\prime }(x)h(x)\\ =x\left(\frac{u^{″}(x)}{x}-2\frac{u^{\prime }(x)}{x^2}\right)+2(x+1)\frac{u^{\prime }(x)}{x}=u^{″}(x)+2u^{\prime }(x).\end{array}$

Donc $u^{\prime }$ est solution de (E₁).

▶ 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation initiale d'ordre 2

On sait d'après la partie B que pour tout réel x, $u^{\prime }(x)=C{\text{e}}^{-2x}+\frac{1}{2}-x{\text{e}}^{-2x}$.

Donc, en déterminant une primitive et grâce à la question 2. de la ­partie A, on obtient que :

$u(x)=-\frac{C}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{x}{2}+\frac{2x+1}{4}{\mathrm{e}}^{-2x}-B=\frac{2x+1-2C}{4}{\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{x}{2}-B.$

On en déduit que si z est une solution de $({\text{E}}_{\text{2}})$ sur I, alors : $z(x)=u(x)h(x)=\frac{u(x)}{x}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1-2C}{4x}\right){\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{1}{2}-\frac{B}{x}$ avec B et C réels.

Réciproquement, on vérifie que ces fonctions sont solutions de $({\text{E}}_{\text{2}})$ sur I.

Donc $\mathcal{S}=\left\{x\mapsto \left(\frac{1}{2}+\frac{1-2C}{4x}\right){\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{1}{2}-\frac{B}{x},B\in \text{ℝ}\text{et}C\in \text{ℝ}\right\}$.